Sprendžiant vektorių ir tiesių bei plokštumų uždavinius, kartais susiduriama su klausimu, kaip nustatyti, ar vektoriai yra komplanarūs. Šiame straipsnyje aptarsime vieną iš būdų, kaip tai padaryti.
Kas yra kolineariniai ir koplanariniai taškai? (GMAT/GRE/CAT/Bank PO/SSC CGL) | Neįsiminkite
Vektorių komplanarumo sąlyga
Vektoriai a, b, ir c yra komplanarūs, jei egzistuoja tokie skaliarai x ir y, kad c = xa + yb. Kitaip tariant, vektorius c gali būti išreikštas kaip vektorių a ir b linijinis derinys.
Praktikoje, norint patikrinti vektorių komplanarumą, galima naudoti determinantą. Jei turime tris vektorius a(x₁, y₁, z₁), b(x₂, y₂, z₂) ir c(x₃, y₃, z₃), tuomet jie yra komplanarūs, jei determinantas, sudarytas iš jų koordinačių, yra lygus nuliui:
Jei determinantas lygus 0, vektoriai yra komplanarūs. Jei determinantas nelygus 0, vektoriai nėra komplanarūs.
Pavyzdys
Vektoriai a, b, c yra nekomplanarūs. Kokios turi būti skaliaro λ reikšmės, kad vektoriai (a + 2b + λc), (4a + 5b + 6c), (7a + 8b + λ²c) būtų komplanarūs?
Kadangi vektoriai išreikšti per vektorius [tex]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/tex], tai tų vektorių koordinatėmis galime laikyti koeficientus, esančius prie atitinkamų vektorių.
Tada galime sudaryti determinantą:
Išsprendę determinantą, gauname:
[tex]5\lambda^2+84+32\lambda-35\lambda-48-8\lambda^2=0[/tex]
[tex]\lambda^2+\lambda-12=0[/tex]
[tex]\lambda_{1}=-4[/tex], [tex]\lambda_{2}=3[/tex]
Taigi, vektoriai bus komplanarūs, kai λ = -4 arba λ = 3.
Plokštumos lygtis
Raskite lygtį plokštumos, kuri eina per koordinačių pradžios tašką ir yra lygiagreti plokštumai 5x - 3y + 2z - 3 = 0.
Pagal sąlygą duotas taškas M1(0; 0; 0), normalės vektorius n(5; -3; 2). Jei ieškoma plokštuma turi tašką M(x; y; z), tada vektorius M1M(x; y; z). Jei susidarau lygtį M1M * n = 0, tada gaunu naujos plokštumos lygtį 5x - 3y + 2z = 0, kuri yra beveik identiška duotajai sąlygoje (tai verčia suabejoti dėl sprendimo korektiškumo).
Viskas gerai, lygiagrečių plokštumų lygčių pirmieji trys koeficientai turi būti proporcingi (arba lygūs). Pas tave taip ir yra.
Atstumas nuo taško iki plokštumos
Ašyje Oy raskite tašką, kurio atstumas iki plokštumos x + 2y - 2z - 2 = 0 būtų lygus 4.
Iš čia žinomas vienetinis vektorius j(0; 1; 0), normalės vektorius n(1; 2; -2). Pritaikius taško iki plokštumos atstumo formulę atsiranda trys nežinomieji (x₀, y₀, z₀).
Tiesės lygtys
- Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
- Lygtis tiesės, einančios per tašką ir kolinearios vektoriui.
- Sąlyga, kad trys taškai priklausytų vienai tiesei.
- Lygtis tiesės, einančios per duotą tašką ir kolinearios duotam vektoriui.
Plokštumų lygtys
- Lygtis plokštumos, einančios per tašką ir statmenos vektoriui.
Veiksmai su vektoriais
- Vektorių sudėtis
- Trikampio taisyklė
- Lygiagretainio taisyklė