Sprendžiant uždavinius, kuriuose prašoma išvardyti arba suskaičiuoti galimus variantus, svarbiausia atkreipti dėmesį į šiuos du dalykus: nepraleisti nė vieno varianto ir nesuskaičiuoti kurio nors iš variantų keletą kartų.
Skaičiuojant galimus variantus, patartina vadovautis šiais principais, kurie padės išvengti klaidų:
- Rašyti (arba išdėstyti jau užrašytus) variantus didėjimo arba mažėjimo tvarka.
- Grupuoti variantus po kelis pagal tam tikrą panašumą.
- Remtis ankstesniais (panašiais) uždaviniais, kurių atsakymas jau žinomas.
Nebūtina vadovautis visais trimis iškart - pakanka bet kurio vieno.
Pavyzdys. Jei jau išrašyti visi triženkliai skaičiai, sudaryti iš skirtingų skaitmenų 1, 2 arba 3, užduotį suskaičiuoti visus keturženklius skaičius, sudarytus iš skirtingų skaitmenų 1, 2, 3 arba 4, galima atlikti trejopai:
- išrašant didėjimo tvarka visus skaičius: 1234, 1243, 1324, 1342 ir t. t.;
- grupuojant pagal paskutinį skaitmenį ir išrašant visus galimus variantus;
- remiantis išspręstu uždaviniu teigti: „Kai užrašytas pirmas skaitmuo, lieka dar trys skaitmenys, kuriuos galėsime išdėlioti 6 būdais (tiek pat, kiek ir su skaitmenimis 1, 2, 3). Vadinasi, 6 būdai su vienetu priekyje, 6 būdai su dvejetu priekyje, 6 būdai su trejetu priekyje ir 6 būdai su ketvertu priekyje. Iš viso 24 būdai / skaičiai.“
Uždaviniai ir Sprendimai
Panagrinėkime keletą uždavinių, iliustruojančių variantų perrinkimo principus.
Pavyzdys 1: Raidžių Deriniai
Pirmokas Jonukas moka parašyti tik A ir M raides. Jis užrašo dvi raides paeiliui.
- Kiek skirtingų raidžių derinių jis gali sudaryti?
- Kiek skirtingų raidžių derinių jis sudarys, jei abi užrašytos raidės turi būti skirtingos?
Atsakydami į abu klausimus, užrašykite visus galimus raidžių derinius.
Pavyzdys 2: Dviženkliai Skaičiai
Kiek skirtingų dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2 ir 3, jei abu skaičiaus skaitmenys privalo būti skirtingi? Užrašykite visus tokius skaičius.
Pavyzdys 3: Seifo Kodas
Seifo kodas yra triženklis skaičius, sudarytas iš skirtingų skaitmenų. Kiek kodų galima sudaryti naudojant tik skaitmenis 1, 3 ir 5? Užrašykite visus galimus kodus.
Pavyzdys 4: Triženkliai Skaičiai su Pasikartojančiais Skaitmenimis
Kiek skirtingų triženklių skaičių galima užrašyti, naudojant tik skaitmenis 0, 1 ir 2? Be to, skaitmenys skaičiuje gali kartotis. Surašykite tuos skaičius didėjimo tvarka.
Pavyzdys 5: Skaitmenų Suma
Užrašykite visus triženklius skaičius, kurių skaitmenų suma lygi 4.
Pavyzdys 6: Komandos Sudarymas
Tomas, Juozapas, Mantas ir Paulius - geriausi klasės matematikai. Jie atrankos varžybose surinko vienodą taškų sumą. Tačiau klasės komandoje turi būti lygiai 3 dalyviai. Keliais skirtingais būdais galima sudaryti klasės komandą?
Variantų Skaičiavimo Principai
Skaičiuojant variantus, svarbu atsiminti kelis pagrindinius principus:
- Daugybos taisyklė: Jei vieną veiksmą galima atlikti m būdais, o kitą - n būdais, tai abu veiksmus kartu galima atlikti m * n būdais.
- Sudėties taisyklė: Jei vieną veiksmą galima atlikti m būdais, o kitą - n būdais, ir šie veiksmai negali būti atliekami kartu, tai vieną iš šių veiksmų galima atlikti m + n būdais.
| Principas | Aprašymas | Pavyzdys |
|---|---|---|
| Daugybos taisyklė | Veiksmai atliekami vienas po kito. | Pasirinkti marškinėlius (3 variantai) ir kelnes (2 variantai) = 3 * 2 = 6 deriniai. |
| Sudėties taisyklė | Renkamės vieną iš kelių galimybių. | Nuvažiuoti autobusu (2 maršrutai) arba traukiniu (3 maršrutai) = 2 + 3 = 5 galimybės. |
Šie principai padeda sistemingai ir efektyviai spręsti kombinatorikos uždavinius.