Tikimybių teorija tiria tam tikras situacijas, kurias matematikai mėgsta vadinti tikimybiniais bandymais, arba tiesiog bandymais. Sakysime, kad bandymas yra tikimybinis, jei galimų jo baigčių (rezultatų) yra daugiau negu viena, ir negalima iš anksto tvirtai pasakyti, kuri iš galimų baigčių iš tikrųjų įvyks. Tipiški bandymų pavyzdžiai yra monetos mėtymas, lošimo kauliuko ridenimas, šaudymas į lėkštes, orų prognozės. Su tikimybiniais bandymais susiduriame kasdien.
Vystantis gamtos mokslams, matematiniai žaidimai bei lošimai iš klasikinės eros perėjo į šiuolaikinę. Ne tik mokslas, bet ir XXI amžiaus pramogos neatskiriamos nuo šiuolaikinės matematikos. Klasikiniais laikais tik tikimybių teorijoje organiškai pasireiškė lošimų teorija, dabar pats žodis „lošimas“ tapo matematiniu terminu, plačiai vartojamu įvairiausiuose moksluose: ekonomikoje, biologijoje, karyboje.
Žodis „tikimybės“ vartojamas dvejopa prasme. Viena vertus, šis žodis reiškia mokslą - iš esmės matematikos šaką. Antra vertus, mes kalbame apie įvykių tikimybes, ir tada „tikimybė“ reiškia skaičių, kaip, pavyzdžiui, teiginyje „Tikimybė, kad tris kartus metant monetą, atvirs vvien herbai, lygūs 12,5%“. Terminas „galimybės“ vartojamas tai pačiai tikimybės sąvokai išreikšti šiek tiek kitu pavidalu.
Lošimo kauliukai - vienas iš klasikinių tikimybių teorijos pavyzdžių
Pagrindinės sąvokos
Su kiekvienu bandymu susijusi visų galimų jo baigčių (rezultatų) aibė, vadinama baigčių erdve, arba elementariųjų įvykių erdve.
Iki šiol mes kalbėjome apie atskirų baigčių tikimybes, kurias nurodo tikimybių paskirtis. Dauguma tikimybių uždavinių yra susiję su baigčių kombinacijomis, vadinamomis įvykiais. Įvykio baigčių skaičius gali kisti nuo 0 iki N (baigčių erdvės dydžio). Kiekviena baigčių erdvės tikimybių paskirtis kiekvienam įvykiui savaime priskiria tikimybę. Ji gaunama sudėjus tą įvykį sudarančių baigčių tikimybes.
Tikimybinį modelį sudaro, pirma, baigčių erdvė, sudaryta iš visų galimų atsitiktinio bandymo baigčių ir, antra, tos baigčių erdvės tikimybių paskirtis. Pastaroji kiekvienai atskirai baigčiai priskiria skaičių tarp 0 ir 1 imtinai, vadinama tos baigties tikimybe. Matematiniu požiūriu nesvarbu, iš kur tos tikimybės imamos. Jos gali remtis stebėtojo subjektyvia nuomone, gali būti dažnių skaičiavimo ar kokios nors sudėtingos formulės taikymo rezultatas.
Matematikas, siekdamas aiškumo, reikalauja, kad tikimybės būtų skaičiai tarp 0 ir 1. kasdieninei vartosenai tai nėra taip svarbu - mes žinome, kad žmonės kalba apie šansus kaip tikimybes, išreikštas procentais, iir apie galimybes, kurios dažniausiai naudojamos išreikšti tikimybėms, susijusioms su lošimo situacijomis.
Kintamieji gali būti natūraliai susiję su tikimybiniu bandymu, nes, šiaip ar taip, bandymo baigtys yra kintamos. Jei kiekybinio dydžio skaitinė reikšmė priklauso nuo bandymo rezultato, tai kintamąjį vadiname atsitiktiniu dydžiu.
Žmogui tikimybės, šansai ir galimybės yra miglotos sąvokos, vartojamos visų pirma lošiant loterijoje ar aptariant rytojaus orus. Tačiau matematikai ir statistikai žiūri į tikimybių teoriją kaip į tikslią schemą, kuri dažnai leidžia išsiaiškinti atsitiktinių įvykių dėsnius. Pagrindiniai šios schemos elementai yra baigčių erdvė, matematiškai tiksliai nusakanti visas galimas atsitiktinio bandymo baigtis (rezultatus), ir tikimybių paskirtis, suteikiančias kiekvienai baigčiai skaitinę reikšmę. Šios skaitinės reikšmės rodo atitinkamos baigties tikėtinumą. Vienas iš paprasčiausių tikimybių priskyrimo būdų yra vienodų tikimybių suteikimas visoms baigtims. Šiuo atveju tikimybės skaičiuojamos, atsakius į du pagrindinius (ne visada paprastus) klausimus: 1) koks yra nagrinėjamos baigčių erdvės dydis?
Nors tikimybių teorija yra palyginti jauna matematikos šaka, pažintis su atsitiktinumo dėsniais yra svarbi visuotinės kultūros dalis ir labai praverčia kasdieniniame gyvenime. Minutėlę pamąsčius apie tai, kiek mūsų gyvenimas yra valdomas likimo ir kiek - atsitiktinumo, didelis tikimybių vaidmuo nebestebintų.
Ryšys su lošimais
Vienas iš seniausių ir paprasčiausių tikimybių teorijos taikymų susijęs su azartiniais lošimais. Mes nesame jų šalininkai, bet azartiniai lošimai yra gausus pavyzdžių šaltinis ir kelia daugybę įdomių matematinių uždavinių. Daugeliui lošimų reikia kkokios nors priemonės ar prietaiso, kaip moneta ar monetos, lošimo kauliukas ar kauliukai, kortų kaladė, ruletė ir t. t. Tokiu atveju laikoma, kad lošimo įrankis yra idealus, t. y. moneta ar kauliukas yra simetriški, kortos gerai išmaišytos ir nėra žymėtos, oo ruletės ratas - subalansuotas. Matematiškai tai reiškia, kad visų baigčių tikimybės vienodos. Kadangi tikimybių suma lygi 1, tai, pirma, kiekvienos baigties tikimybė turi būti 1/N (čia N - baigčių erdvės dydis), ir, antra, bet kurio įvykio tikimybė gaunama padalijus jį sudarančių baigčių skaičių iš N.
Pavyzdžiai ir uždaviniai
Pavyzdys 1: Lošimo kauliukai
Metami du lošimo kauliukai. Laimima, jei atvirtusių akučių suma bus lygi 2, 3, 4, 9, 10, 11 arba 12. Kokia tikimybė laimėti?
- Išsirašome įvykiui A - "atvirtusių akučių suma bus lygi 2,3,4,9,10,11 arba 12" palankias baigtis: (1;1), (1;2), (2;1), (1;3), (3;1), (2;2), (3;6), (6;3), (4;5), (5;4), (4;6), (6;4), (5;5), (5;6), (6;5), (6;6). Jų yra: m=16.
- Viso baigčių yra (skaičiuojame pagal kombinatorikos daugybos taisyklę, kai žinome, jog vienąkart metant kauliuką yra 6 baigtys): n=6*6=36.
- Taigi tikimybė: P(A)=m/n=16/36=4/9.
Pavyzdys 2: Parduotuvės
Tikimybė, kad ieškomą prekę rasime "Pirksima" parduotuvėje lygi 0,6, o kad "Rašima" - 0.4.
Tikimybių teorijos taikymas kosmologijoje
Idėja, kad mūsų visata - tik viena iš daugelio, yra labai viliojanti, ir ją remianti fizika atrodo ganėtinai patikima, ta prasme, kad pati ši idėja išaugo iš plačiai pripažintų kosmoso raidos teorijų. Bet kartu ši idėja neturi jokių empirinių įrodymų - ir būtent tuo užsiima Hadzibabico eksperimentas Kembridžo universitete. Tyrėjai mano, kad iki ekstremaliai žemos temperatūros atšaldžius kalio atomus ir jais manipuliuojant, turėtų spontaniškai rastis burbuliukai, kurie būtų savotiški kitais būdais nematomų naujas visatas kuriančių procesų tarpininkai.
Infliacinė multivisata ne tokia. Ši idėja įgavo formą devintajame dešimtmetyje, kai fizikas Andrei Linde ir Alan Guth stengėsi perprasti stebėjimus, rodančius, kad didžiojo sprogimo atšvaistai - kosminis mikrobangų fonas (KMF), - nepaaiškinamai tolygus. Jie iškėlė mintį, kad pirmosiomis sekundės dalimis, vadinamuoju infliacijos periodu, visata plėtėsi eksponentiškai. Tačiau besigilindami į šią idėją, jie suprato, kad menkai tikėtina, jog kartą prasidėjusi, infliacija sustojo. Ji galėjo baigtis mūsų visatoje, bet tęstis visur kitur, taip kurdama begalę visatų „burbulų“.
Tarp šių visatų burbulų besiplečianti erdvė greitai juos atskiria, tad šansų sąveikauti buvo nedaug. Bet jeigu šio visatos užgimė pakankamai arti viena kitos, manoma, kad prieš išsiskirdamos, jos galėjo susidurti - tad mūsų visatoje turėtų būti likę aptinkami tokių susidūrimų pėdsakai, kažkokios žymės, „randai“.
Bet kaip jų ieškoti? Kosmologai seniai ir įvairiausiais būdais stengėsi aptikti multivisatos pėdsakus. Kai kurie tai padaryti bando netgi be jokių stebėjimų. Bet dauguma kosmologų sutaria, kad geriausia paieškų vieta yra KMF. Kitaip tariant, reikia žvelgti dangop.
Kosminis mikrobangų fonas (KMF) - potenciali vieta multivisatos pėdsakų paieškai
2011 metais Johnsonas su Hiranya Peiris iš UCL ir jos kolegomis, parodė, kad susiduriantys visatų burbulai KMF turėtų palikti apskritus randus. Jie sukūrė algoritmą šukuoti ankstesnius KMF atvaizdus, ieškant juose tokių pėdsakų. Radiniai buvo daug žadantys: keturios sritys danguje atitiko tokių susidūrimų numanomą formą. Kad sumažintų ir patikslintų savo prognozes, Peiris ir Johnsonui reikėjo geriau perprasti visatų gimimo proceso subtilybes. Tikimasi, kad tam galėtų pasitarnauti Hadzibabico eksperimentas.
Kvantinėje teorijoje, žemiausia įmanoma erdvėlaikio energijos būsena - kur viskas ir vyksta, įskaitant įmanomą multivisatą - vadinama vakuumu. Bet jeigu erdvė tarp visatų nuolatos plečiasi, ji negali būti tikru vakuumu - plėtimuisi reikia iš kažkur gauti energijos. Kvantinio lauko teorija, matematinis karkasas, apjungiantis kvantinę teoriją ir Alberto Einšteino specialiojo reliatyvumo teoriją, sako, kad yra daugiau nei viena vakuumo būsena, bet dauguma jų yra „netikros“ - t.y., ne mažiausios įmanomos energijos.
Kadangi gamta visada stengiasi įgauti mažiausios energijos būseną, netikras vakuumas nėra visiškai stabilus. Sakoma, jis „metastabilus“. O kvantinėje srityje, dalykai gali paslaptingai „tuneliuoti“ į žemesnės energijos būseną - lyg akmenėlis iš vienos pievos staiga atsidurtų gretimoje, neįveikdamas tarp jų stovinčios kalvos.
Kosmologams šie kvantiniai vadinamieji netikrojo vakuumo irimo procesai rūpi, nes jais galima paaiškinti kaip prasidėjo mūsų visata ir kaip galėjo prasidėti kitos. Mūsų visatos pradžios stebėjimai, taip pat ir ankstyvojo spartaus jos plėtimosi, rodo, kad ji radosi kaip burbulas. Tai galėjo būti susiję su kosmoso tuneliavimu į žemesnės energijos būseną. Šį procesą fizikai vadina faziniu perėjimu, prieš galiausiai pasiekiant tikrą vakuuumą.
Geriausias turimas šio hipotetinio scenarijaus patvirtinimas kyla iš sudėtingų kvantinio lauko teorijos lygčių, ir tik smarkiai aproksimuojant. „Naudojant geriausius turimus matematikos įrankius, šis burbulas nukleatizuojasi [pasirodo] iš karto - idealiai susiformavęs - viename erdvės taške,“ aiškina Peiris.