Šiame straipsnyje išsamiai aptarsime kvadratines lygtis, jų sprendimo būdus ir svarbias teoremas. Nagrinėsime įvairius pavyzdžius, kurie padės geriau suprasti šią algebros sritį.
Kvadratinės funkcijos grafikas
Kas yra Kvadratinė Lygtis?
„Kvadratinė lygtis“ - tai matematikoje naudojamas terminas, kuris apibrėžia lygtį, kurioje yra nežinomasis, pakeliamas kvadratu (t. y. antrąją laipsnį). „Kvadratinė“ - tai būdvardis, kilęs iš žodžio „kvadratas“, kuris savo ruožtu yra pasiskolintas iš lotynų kalbos žodžio „quadratum“ (t.y. kvadratas, keturkampis).
Lotynų kalboje „quadratum“ yra susijęs su skaitmenimis, apibūdinančiais keturias lygiavertes puses arba kvadrato savybę - tokiu būdu atspindima idėja, kad tai yra antrasis laipsnis (kaip kvadrato plotas, kuris lygus krašto ilgio kvadratui). „Lygtis“ - tai substantyvas, kuris atkeliaujantis iš lietuvių kalbos „lygti“ (t.y. būti lygiam, turėti tą patį dydį). „Lygtis“ nurodo į matematinį santykį, kuris gali būti užrašytas simboliais, ir jo tikslas yra apibrėžti lygybę tarp skirtingų dalių.
Žodžių junginys „kvadratinė lygtis“ nėra ypač senas lietuvių kalboje ir yra tiesioginis matematinės terminijos importas iš vakarų kalbų. Šioje frazėje „kvadratinė“ veikia kaip apibūdinimas, nurodantis, kad lygtis susijusi su antruoju laipsniu. Peržvelgiant šį terminą, galima pastebėti, kad lietuvių kalba dažnai naudoja tą pačią struktūrą, kuri yra ir daugelyje kitų kalbų, ypač pasiskolindama matematines sąvokas. Šis žodis gali būti naudojamas tiek šnekamojoje, tiek mokslo kalboje, kai kalbama apie specifinę lygčių klasę.
Vieto Teorema
Dažnai vadinama pusiau lotynišku vardu Vietu. Vijetas taip pat buvo tesininkas. Jis išplėtojo savo algebros idėjas. Vijetas įvedė „padedantis“(aišku, daugiklį).
Sakykime, x1 ir x2 - lygties šaknys. Kadangi diskriminantas teigiamas (D= (-7)2 - 4). Kadangi 4=1. 4=2.
Diskriminantas
Lygtis turi lygias šaknis, kai D=0. Kadangi diskriminantas teigiamas (D= (-7)2 - 4 . turi dvi šaknis.
Pavyzdžiai ir Sprendimai
1 Pavyzdys
Duotas šaknis -15 ir 22. p= -(-15+22), q=-15. Ats: x1.
2 Pavyzdys
Lygties x2+px-35=0 viena šaknis yra 7. Ats: x1.
3 Pavyzdys
Lygties 5×2+bx+24=0 viena šaknis lygi 8.
4 Pavyzdys
Kvadratinės lygties x2-12+c=0 šaknų skirtumas lygus 6.
5 Pavyzdys
Duota funkcija y=x2+px+q.
6 Pavyzdys
Kvadratinės lygties šaknys x1 ir x2.
Lygtis su Parametrais
Kai m[pic]1, turime kvadratinę lygtį. diskriminantas D=0( šiuo atveju geriau [pic]=0 ). Ar su šiomis a reikšmėmis pradinė lygtis turi šaknų?Turi.
Šaknų Savybės
Sakykime, x1ir x2- lygties šaknys. x1x2=b, x1+x2=6.
Išvados apie šaknis
Lygtis turi dvi šaknis. Realiąsias šaknis x1 ir x2. Lygties šaknų kvadratų sumą pažymėkime y. sutampančias(t.y. Galima, pagaliau, nagrinėti ir kompleksines šaknis. galimus požiūrius. nys realios kai m[pic]7 arba m [pic]3. 2(2m-5)=m2-6m+11=(m- 3)2+2. m=3. 3×12+5x1x2+3×22 = 3(x1+x2)2-x1x2 = 3. 4x1x22+4x12x2=4x1x2(x1+x2)=4 . [pic] .
Papildomi pavyzdžiai
1 Pavyzdys
Kvadratinės lygties 10×2-33x+c=0 viena šaknis yra 5,3.
2 Pavyzdys
Kvadratinės lygties x2+x+c=0 šaknu skirtumas lygus 6.
Narius iš bet kokio, nelygaus nuliui, skaičiaus.
Šiame uždavinyje turi būti [pic]=6, arba D=36, t.y. Iš čia randame, kad m= -6,75.
reikšmes, kad abi sistemos lygtys virstų teisingomis lygybėmis. 1).Vadinasi, dauginamieji yra skirtingų ženklų. 17. 1. teoremą(mat 2=(-1)+3,-3=(-1).3) , randame: y1=-1, y2=3. tinka tik y=3. Atsakymas:.
Ar 0.(9) turi tas ekvivalentumo elemento savybes - negalima pasakyti be konteksto. Aš naudočiau 0.(9) tuomet, kai norėčiau pabrėžti, kad jo negalima išprastinti, arba kai norėčiau pabrėžti, kad tai yra skaičius mažesnis už vienetą - 1-1/inf. Viršutinė intervalo [0;1) riba, skirtingai nei 1, priklausanti šiam intervalui. Gali laikyti, kad nepriklauso - ir taip pat būsi teisus, jei apibrėši 0.(9) kaip 1 (jei laikysi, kad 0.(9) = lim 0.(9) ) .
Iš čia ir mano verdiktas: taip, 0.(9) skaitine verte lygus 1, bet nebeturi ekvivalentumo elemento savybių - jas turi pabrėžti kontekstas. Tai yra skirtinga išraiška - begalinė eilutė, artėjanti į 1, tai yra kontekste apibrėžtos funkcijos reikšmė, o ne tik skaičius. 0.(9) neturi prasmės kitokios nei 1, jei neaišku, iš ko jis gautas.
Sunku atsakyti į klausimą kai salyga, mano žiniomis, klaidinga. Turiu konspektuose nurašytą įrodymą kad negali egzistuoti toks skaičiai, kurie baigiasi begaline 9 seka. Irodymas remiasi tiesės dalinimu į intervalus. Tarkim turim skaičių pi ir intervalą nuo 1 iki 10, padalinus intervalą į 10 lygįų dalių pi atsidurs 3 dalyje, tą dalį dar padalinus į 10 lygių dalių pi pi atsidurs 1 dalyje(3.1) ir t.t. Tikriausiai supratot esmę:-) tai wa jei turėsim daug [redaguota: necenzūrinis išsireiškimas] 9 tai dalindami turėtume prie 1 priartėti begalo mažu atstumu, o toks atstumas neegzistuoja bent jau taip konspekte rašo.
Algebra yra labai sudėtingas mokslas, nes jeigu analizėje paknaka įrodyti egzistavimą, tai ten reikia pateikti ir sprendimo būdą, kitaip sprendimas yra "nealgebrinis".
Būtent. Algebra kuria abstrakčius įrankius, bet gilinimasis į jų savybes kartais tampa tiesiog egzistencinių klausimų sprendimu. Ir čia yra du kraštutiniai požiūriai - perfekcionizmas, kai viskas turi būti įrodyta ir kreacionizmas, kai viską priimi kaip tobula, o tobulybę kaip nevertą analizės netobulu protu (tebūnie pi=3, praktinėms reikmėms pakanka ;] ).
Iš čia kyla ir šios temos klausimas - ar priimam 0.(9) kaip papildomą įrankį, suteikiam jam skirtingumą nuo 1, ar deklaruojam, kad 0.(9) tapatu 1 su visom iš to išplaukiančiom savybėm ir atmetam jį kaip įrankį, pripažindami jį skirtinga to paties dalyko notacija.
Ir iš čia tikrai egzistencinis klausimas: kur yra riba tarp spręstinų, ir sunkių, bet nenaudingų uždavinių (ar pi^e^3^e^pi racionalumas svarbus uždavinys, kad ir kiek fundamentalios būtų jo išvados?). O surasti Higgso bozoną arba vandens Titane?
Šio klausimo esmė ir yra žmogaus nesuvokimas. Abu variantai atsakymų yra teisingi, viskas priklauso nuo požiūrio. Nėra vienos absoliučios tiesos, o jei ji ir yra - ji prasideda ten, kur baigiasi mūsų įsivaizdavimas apie ją.
Mes tik žmonės, matematika - tik žmogiškas mokslas. Kaip yra iš tikrųjų - didžiausia ir neatskleidžiama paslaptis. Gal tegu taip ir lieka? Bent kol kas?
Reiktu butinai pridurti, kad visie sitie isgalvoti dalykai yra paremti logika bei irodymais.
Kvadratinės lygties formulė
Vieto teorema
| Lygtis | Diskriminantas (D) | Šaknys |
|---|---|---|
| x2 + 5x + 6 = 0 | 1 | -2, -3 |
| x2 - 4x + 4 = 0 | 0 | 2 |
| x2 + x + 1 = 0 | -3 | Kompleksinės šaknys |