Skaičiai, nors ir abstraktūs, gali sukurti neįtikėtiną harmoniją ir grožį, ypač kai jie išsidėsto tam tikra tvarka. Šiame straipsnyje pasinersime į dviejų ypatingų skaičių sekų - aritmetinių ir geometrinių progresijų - pasaulį. Sužinosite, kaip šios sekos veikia, kaip jas atpažinti ir kokie jų praktiniai pritaikymai.
Progresijos yra algebros kurso dalis, tačiau šiek tiek nutolusi nuo keturių pagrindinių algebros kurso krypčių: skaičių sistemų, tapačiųjų pertvarkų, lygčių ir nelygybių, funkcijų. Nagrinėjant progresijas, būtina pirmiausiai išnagrinėti skaičių sekas, kadangi tiek aritmetinė, tiek geometrinė progresijos visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos tam tikros savybės.
Knygos „Įdomioji matematika“ septintame skyriuje yra rašoma apie seniausiąją progresiją. Ten rašoma, kad seniausias progresijos uždavinys, buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastas prieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, galbūt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą.
1. Skaičių Sekos
Šiame straipsnyje nagrinėsime skaičių sekas, geometrines progresijas, jų savybes ir pritaikymą uždavinių sprendimui. Aptarsime, kaip atpažinti progresijas, kokios yra jų savybės ir kaip jas panaudoti praktiniuose uždaviniuose.
1.1. Skaičių Sekos Apibrėžimas
Skaičių seka - tai skaičių išdėstymas tam tikra tvarka. Kiekvienas sekos skaičius vadinamas sekos nariu. Sekos gali būti baigtinės arba begalinės.
Pavyzdžiui, skaičių seka gali būti užrašyta taip: [pic],., arba [pic]. Kiekvienam natūraliajam skaičiui [pic] atitinka jo kvadratas.
Skaičių seka vadinama skaitinė funkcija [pic], apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje [pic].
Sakykime, kiekvienam natūraliajam skaičiui priskirtas tam tikras realusis skaičius: skaičių 1 atitinka skaičius [pic], skaičių 2 - skaičius [pic], skaičių 3 - skaičius [pic],…, skaičių [pic] - skaičius [pic] ir t. t.
Tuomet sakome, kad apibrėžta skaičių seka, ir rašome: [pic], [pic], …,[pic], …, arba [pic]. Skaičius [pic]-tasis sekos narys.
Pavyzdys. [pic]. Ši seka sudaryta taip: kiekvieną natūralųjį skaičių atitinka jo kvadratas. Čia [pic]= [pic]
1.2. Sekų Rūšys
Seką [pic] kurios kiekvienas narys mažesnis už po jo einantį, t. y. kurios [pic] su kiekvienu [pic], vadiname didėjančia. Seką [pic] kurios kiekvienas narys didesnis už po jo einantį, t. y. kurios [pic] su kiekvienu [pic], vadiname mažėjančia.
Pavyzdžiui:
- Dešimtainių artinių su trūkumu seka: 0,2; 0,22; 0,222; 0,2222;.
- -[pic], .
Pavyzdžiai:
- 1, 4, 9, 16, 25, …, [pic], …- didėjanti seka.
- 2, 5, 8, 11, 14, …, [pic] didėjanti seka.
- -1, -2, -3, -4, …, -[pic], … - mažėjanti seka.
- -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, [pic]- ši seka nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.
Skaičių seką, kaip ir skaitinę funkciją, galima pavaizduoti taškais koordinačių plokštumoje.
1.3. Rekurentiškai Apibrėžtos Sekos
Seka gali būti apibrėžta rekurentiškai, kai kiekvienas sekos narys išreiškiamas per pirmesnius narius.
Pavyzdžiui, Fibonačio seka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. kur [pic]=[pic].
Tai būdas, kai kiekvienas sekos narys, pradedant nuo tam tikro, išreiškiamas pirmesniaisiais nariais. Apibrėžiant seką šiuo būdu, nurodomas jos pirmasis narys arba keli jos pirmieji nariai ir formulė, pagal kurią galima apskaičiuoti kiekvieną sekos narį žinant pirmesnius narius.
Pavyzdys. [pic].Turime [pic]Ir taip toliau, gauname seką: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… .
Kiekvienas jos narys, išskyrus du pirmuosius, lygus dviejų prieš jį einančių narių sumai.
2. Progresijos
Progresija yra skaičių seka, kurios nariai paklūsta tam tikrai taisyklei.
2.1. Aritmetinė Progresija
Aritmetinės progresijos formulės
Aritmetinė progresija - tai skaičių seka, kurioje kiekvienas narys skiriasi nuo prieš tai einančio nario pastoviu dydžiu, vadinamu skirtumu (d).
Seką [pic] kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį esančiam nariui, sudėtam su tuo pačiu skaičiumi d, vadiname aritmetine progresija. Skaičius d- progresijos skirtumas.
Taigi aritmetinė progresija yra lygybe [pic] rekurentiškai apibrėžta seka. Pavyzdžiui, [pic] ir t. t.
1 pavyzdys: 2, 4, 6, 8, ... (d=2)
2 pavyzdys: 1, 5, 9, 13, ... (d=4)
3 pavyzdys: Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, ., 2, . (d=0)
Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra aritmetinė progresija, kurios [pic].
Kai d >0, tai aritmetinė progresija didėja, o kai d < 0- mažėja.
Nurodant, kad seka [pic] yra aritmetinė progresija, kartais yra rašoma taip: [pic].
Aritmetinės progresijos pavyzdys
2.2. Geometrinė Progresija
Geometrinė progresija - tai skaičių seka, kurioje kiekvienas narys gaunamas padauginus prieš tai einantį narį iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu (q).
Seką [pic][pic], kurios pirmasis narys nelygus nuliui ir kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, padauginant iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus q , vadiname geometrine progresija.
Skaičius q - progresijos vardiklis. [pic] kai [pic] rekurentiškai apibrėžta seka.
1 pavyzdys: 2, 4, 8, 16, ... (q=2)
2 pavyzdys: 1, 3, 9, 27, ... (q=3)
3 pavyzdys: 5, 5, 5, 5, ... (q=1)
4 pavyzdys: Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, ., 2, . (q=1)
Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, …, 2, … yra geometrinė progresija, kurios [pic]
Panagrinėkime seką [pic]. [pic] t. y. [pic].
Geometrinės progresijos pavyzdys
2.3. Progresijų Savybės
Aritmetinės progresijos narių, vienodai nutolusių nuo pradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai. Geometrinės progresijos atveju, kiekvienas narys yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.
[pic]Aritmetinės progresijos n- ojo nario formulė:[pic]
[pic][pic]baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo pradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai.
Aritmetinės progresijos [pic] pirmųjų n narių randama pagal formulę: [pic]
Čia [pic][pic]Charakteristinė savybė: seka yra aritmetinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį ( ir paskutinįjį, kai aritmetinė progresija baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui: [pic]
3. Progresijų Taikymas Uždavinių Sprendimui
Progresijos plačiai naudojamos įvairiems uždaviniams spręsti, pradedant nuo paprastų aritmetinių skaičiavimų ir baigiant sudėtingais finansiniais modeliais.
3.1. Aritmetinės Progresijos Uždaviniai
Uždavinys: Pėstysis eina iš A į D [pic]greičiu. į punktą B, visam keliui sugaišęs 5 valandas. sudaro geometrinę progresiją.
Sprendimas. Antrąją lygtį gauname, žinodami, kad atstumą AC nueina per 3 val., t.
3.2. Geometrinės Progresijos Uždaviniai
Uždavinys: Kažkas pardavė arklį už 156 rub. kainą arklio, kuris tokių pinigų nevertas. pasagų vinis, o arklį tada pridėsiu nemokamai. kiekvienoje pasagoje 6. antrąją - ½., už trečiąją - 1 kap. Ir t. t. y. apie 42 tūkstančius rublių.
Sprendimas: Šis uždavinys iliustruoja geometrinės progresijos taikymą praktinėje situacijoje. Kaina už kiekvieną vinį sudaro geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra [pic], o vardiklis - 2. Norint apskaičiuoti bendrą sumą, reikia susumuoti pirmuosius narius.
Štai vieno, gan komiško, uždavinio pavyzdys:
Uždavinys: Kažkas pardavė arklį už 156 rub. Bet pirkėjas apsigalvojo jonepirkti ir grąžino pardavėjui ir pasakė, kad neapsimoka pirkti už šią kainą arklio, kuris tokių pinigų nevertas. Tada pardavėjas pasiūlė kitas sąlygas: - Jei arklio kaina tau atrodo per aukšta, tai pirk tiktai jo pasagų vinis, o arklį tada pridėsiu nemokamai. Vinių kiekvienoje pasagoje 6. už pirmą vinį man duosi ¼ kap., už antrąją - ½., už trečiąją - 1 kap. Ir t. t.
Pirkėjas, žemos kainos suviliotas ir norėdamas nemokamai gauti arklį, priėmė pardavėjo sąlygas, tikėdamasis, kad už vinis teks užmokėti nedaugiau kaip 10 rublių.
Kiek pirkėjas prakišo?
Sprendimas: Už 24 pasagų vinis teko užmokėti [pic]Ši suma yra lygi [pic] kap.,t. y. apie 42 tūkstančius rublių. Tokiomis sąlygomis negaila ir arklį priedo duoti.
tags: #ar #skaiciai #gali #buti #didejancios #geometrines