Šiame straipsnyje aptarsime, kas yra teiginys kalboje, jo ypatumus, sandarą, ryšių dėsningumus ir pateiksime teorijas, kurios grindžia samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia.
Teiginio apibrėžimas ir ypatumai
Teiginys - tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Tačiau ne visi sakiniai yra teiginiai, o tik tie, kurie reiškia sprendimą apie daiktą ar reiškinį.
Jei daiktui iš tikrųjų būdinga tai, ką mes apie jį sprendžiame, šį sprendimą reiškiantis sakinys yra teisingas. Pvz., sakinys “Vilnius yra Lietuvos sostinė”. Jei daiktui nėra būdinga tai, ką mes apie daiktą sprendžiame, sakinys yra klaidingas. Pvz., sakinys “Paryžius yra Lietuvos sostinė”. Sakinys, kuris nereiškia sprendimo, nėra nei teisingas, nei klaidingas. Pvz., klausimą reiškiantis sakinys “Kiek dabar valandų?”.
Teiginių skirstymas
Struktūriniu požiūriu teiginiai skirstomi į paprastuosius (neskaidomus į kitus teiginius kaip elementus) ir sudėtinius (sudarytus iš paprastų teiginių). Tradicinėje logikoje paprastieji teiginiai analizuojami skaidant juos į subjektą (loginį veiksnį) ir predikatą (loginį tarinį). Atsižvelgiant į subjektą, skiriami singuliariniai (apie vieną individą, pavyzdžiui, Sokratas yra žmogus) ir kategoriniai teiginiai (apie individų aibes, pavyzdžiui, Visi žmonės mirtingi).
Moderniojoje logikoje vietoj subjekto predikato struktūros teiginio pagrindu laikoma vadinamoji propozicinė funkcija (pavyzdžiui, Fx reiškia, kad x turi savybę F), sudaryta iš individinio kintamojo ir jam priskiriamos savybės.
Loginiai ryšiai ir samprotavimai
Samprotavimas yra naujo teiginio gavimas iš turimų teiginių. Samprotavimų būna įvairių. Kai kuriems jų keliami skirtingi taisyklingumo reikalavimai. Samprotavimai, kuriais gaunamas teiginys būtinai teisingas, jei turimi teiginiai teisingi, vadinami dedukciniais.
Pateiksime keletą pavyzdžių:
- “Jei lyja, tai šlapia. Lyja. Vadinasi, šlapia.”
- “Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė. Vilnius yra Lietuvos sostinė. Vadinasi, Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė.”
- “Visi europiečiai žmonės. Aš europietis. Vadinasi, aš žmogus.”
Pirmame, trečiame ir ketvirtame pavyzdyje pateikti taisyklingi dedukciniai samprotavimai. Jais būtinai gausime teisingus teiginius, jei duoti teiginiai teisingi.
Tam, kad būtų įmanoma nustatyti samprotavimų taisyklingumą, logikai tyrinėja teiginių ypatumus, jų sandarą, ryšių dėsningumus, formuluoja teorijas, grindžiančias samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia.
Simbolinė logika ir dirbtinės kalbos
Logikos teorijų ir jomis pagrįstų taisyklių bei metodų patikimumą padeda užtikrinti dirbtinės kalbos, kuriomis reiškiami pagrindiniai logikos terminai, teorijos, taisyklės bei metodai. Šios dirbtinės kalbos turi savo morfologiją, sintaksę, semantiką, jų išraiškos turi tikslias reikšmes. Be to, logikos teorijose panaudojamas aksiominis dedukcinis metodas, kurio dėka svarbiausios loginių tyrimų išvados tampa teoremomis, išvedamomis iš logikos aksiomų - nenuginčijamų teisingų logikos teorijos teiginių. Logika, kuri naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį teorinių tyrimų metodą, vadinama simboline logika.
Natūralios kalbos žodžiai yra daugiareikšmiai. Daugiareikšmiškumas šalinamas apibrėžiant vartojamų žodžių reikšmes. Tačiau teorijose ir taisyklėse, kurios formuluojamos natūralia žodine kalba, dviprasmybių išvengti neįmanoma: jose tenka pavartoti ir tokius natūralios kalbos žodžius, kurių apibrėžti neįmanoma.
Praktinė logika ir logikos filosofija
Tiesa, esama tokių samprotavimo taisyklingumo aspektų, kurie simbolių kalba ir aksiominėmis dedukcinėmis teorijomis dar nėra išreikšti, o gal net iš vis išvis neišreiškiami. Juos tiria logikos mokslo šakos, nepriklausančios simbolinei logikai. Pavyzdžiui, praktinė logika kaupia ir sistemina žinias apie taisyklingų įrodinėjimų praktiką, apie tas problemas ir sėkmes, su kuriomis susiduria sugebėjimą taisyklingai samprotauti lavinantys žmonės, o logikos filosofija tiria fundamentalias pačių logikos teorijų problemas.
Teiginių logika
Teiginių logika tiria tuos teiginių ir jų ryšių ypatumus, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Tokiame teiginių tyrime sėkmingai panaudojama dirbtinė simbolių kalba. Šiame skyriuje aptarsime simbolių kalba formuluojamą teiginių teoriją ir ja pagrįstus samprotavimo taisyklingumo analizės metodus. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurio teiginys turi tik reikšmę “teisinga” arba reikšmę “klaidinga”. Mūsų aptariama teiginių logikos teorija yra simbolinės logikos dalis, viena pamatinių simbolinės logikos teorijų, kuri savo griežtumu nenusileidžia matematikos teorijoms.
Teiginių ir jų reikšmės žymėjimas
Propoziciniai kintamieji žymimi lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis “p”, “q”, “r”, “s”, “t”, “u”, “v”, “x”, “y”, “z” arba šiomis raidėmis su indeksais, pvz. “r1”, “r2”, “r3”,., “rn”,., “z1”, “z2”, “z3”,.,“zn”. Simbolis, žymintis teiginį, vadinamas propoziciniu kintamuoju. Propozicinis kintamasis nėra teiginys. Propozicinis kintamasis žymi vietą, kurią simbolių kalbos išraiškoje gali užimti teiginys, išreikštas simboliais arba natūralios kalbos žodžiais.
Propozicija yra iš lotynų kalbos kilęs tarptautinis žodis, reiškiantis teiginį. Propozicinis kintamasis skiriasi nuo teiginio tuo, kad jis neturi reikšmės. Teiginys reikšmę turi. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurioje teiginys turi tik dvi reikšmes: “teisinga” ir “klaidinga”. Jokių kitokių reikšmių teiginys šioje logikoje neturi. “Teisinga” žymėsime simboliu “1”, o “klaidinga” - simboliu “0”. Kai reikia pažymėti teiginio reikšmę teiginių logikos formulėje, vartojamas toks žymėjimas: teisinga - T, klaidinga - . Užrašas Tp arba p reiškia, kad konstanta priskirta propoziciniam kintamajam. Vienos iš šių reikšmių priskyrimas propoziciniam kintamajam paverčia propozicinį kintamąjį arba teisingu, arba klaidingu teiginiu. Simboliais teiginį galime pažymėti taip: p arba p , Tp arba p.
Teiginių logikos operatoriai
Teiginių logikos operatorius yra simboliu reiškiamas vienai arba kelioms elementarioms teiginių logikos formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimas. Jis jungia elementarioms formulėms priskirtas teiginio reikšmes su formulės, sudarytos iš tų elementarių formulių ir operatoriaus, teiginio reikšmėmis. Todėl teiginių logikos operatorius dar vadinamas jungtimi.
Elementarioms formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimams žymėti logikai naudoja įvairius simbolius. Net lietuviškuose logikos vadovėliuose jiems žymėti naudojami nevienodi simboliai.
Peano-Russell’o sistemoje yra vieno monadinio operatoriaus simbolis “” ir keturių dažniausiai naudojamų diadinių operatorių simboliai: “”, “”, “”, “”. Monadinis operatorius priskiriamas vienam teiginiui arba teiginių logikos formulei. Diadinis operatorius į vieną teiginį ar formulę apjungia du teiginius arba formules. Operatorius “” vadinamas neigimu. Jis žymi teiginio neigimą. Operatorius “-” vadinamas konjunkcija. Jis pagal loginę reikšmę atitinka teiginių jungimą jungtuku “ir”, todėl jis dar vadinamas operatoriumi “ir”. Operatorius “” vadinamas silpnąja disjunkcija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “arba” ir gali būti vadinamas operatoriumi “arba”. Operatorius “” vadinamas materialiąja implikacija. Operatorius “” vadinamas materialiąja ekvivalencija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei ir tik jei.., tai.”.
Bendrosios teiginių logikos simbolių vartojimo taisyklės
- Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė.
- Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.
- Jei ir yra kokios nors taisyklingai sudarytos formulės, tai ( ), ( ), ( ), ( ) irgi yra taisyklingai sudarytos formulės, kuriose ir yra subformulės.
Skliaustai yra teiginių logikos techninis simbolis. Jie yra būtinas taisyklingai sudarytos formulės elementas, kai formulės sudarymui taikoma trečia taisyklė. Galima nenaudoti tik tų skliaustų, kuriais apskliaustina visa formulė. Sudėtingesnėje formulėje skliaustai žymi subformules su diadiniais operatoriais.
Formulės subformulės yra visos formulės dalys, kurios atitinka taisyklingų formulių taisykles: pvz., formulės (p r) subformulės yra p, r, r, p r. Pirmąją ir antrąją taisyklingų formulių taisyklę tenkinančios subformulės skliaustais nežymimos.
Susipažinę su operatorių reikšme, pateikiama kitame knygos poskyryje, pamatysime, kad formulės (p p) p r) ir formulės (p (p p)) r reikšmė skirtinga.
Formulės, kuri sudaryta pagal trečią formulių sudarymo taisyklę panaudojant operatorius “”, “”, narių skaičius dviem nariais nėra ribojamas.
Šiame poskyryje pateikėme visus dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius, išskyrus pasekmės santykio simbolį. Sekmens santykio simboliu dirbtinę teiginių logikos kalbą papildysime poskyryje “Loginiai formulių santykiai”, kuriame aptarsime, ką reiškia išvedimas teiginių logikoje.
Interpretacija teiginių logikoje
Interpretacija yra teksto reikšmės išaiškinimas. Dirbtinės teiginių logikos kalbos tekstas yra bet kuri jos simbolių eilė. Ši eilė vadinama teiginių logikos formule. Jei dirbtinės kalbos simbolių interpretacija yra tokia, kad atitinka svarbiausius kitos kalbos tekstų reikšmės ypatumus, dirbtinės kalbos išraiškos pagal reikšmę atitinka tos kalbos tekstus.
Propozicinio kintamojo simbolis yra teiginių logikos kalbos elementas, kurį turi visos formulės. Šis simbolis nieko konkretaus nereiškia. Būtent dėl to ir kitų simbolių reikšmė nėra aiški.
Kintamajam reikšmė priskiriama. Reikšmės kintamajam priskyrimas yra propozicinio kintamojo interpretacija. Toliau remsimės būtent šiomis propozicinio kintamojo interpretacijomis. Mūsų dirbtinė kalba atitiks natūraliąsias kalbas ir kitas dirbtines kalbas.
Teiginių logikos sistemos, kuriose propozicinių kintamųjų simboliai neturi interpretacijos, vadinamos neinterpretuotomis sistemomis. Tokios sistemos naudojamos teiginių logikos operatorių ir formulių bendriausių ypatumų tyrimui. Teiginių logikos operatorių ir formulių dėsningumai, nustatyti neinterpretuotose sistemose, tinka ir interpretuotoms teiginių logikos sistemoms.
“Teisinga” ir “klaidinga” dar vadinamos G.Boole’o konstantomis. Jas galima suprasti taip: “teisinga” ir “klaidinga” yra nekintanti kokybė, kai ji nėra susieta su teiginiu. Sąsajoje su teiginiu kinta ne ši kokybė, bet teiginio reikšmė.
Kintamųjų eilės interpretacija yra bet kuri kintamųjų interpretacijų ,,,.n eilė, kurios yra p1 interpretacija, o - p2, - p3, n - pn interpretacija. Kai eilėje yra vienas kintamasis p1 (n = 1), kintamųjų eilė turi dvi skirtingas interpretacijas: p1 reiškia arba 1, arba 0.
Propozicinių kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų skaičius nustatomas pagal vieną iš paprasčiausių matematikos šakos, vadinamos kombinatorika, lygčių, skirtą gretinių su pasikartojimais skaičiui nustatyti. Ši lygtis tokia: I = nm , kurioje I yra propozicinių kintamųjų eilės interpretacijų skaičius, n yra vieno propozicinio kint...