Šiame straipsnyje nagrinėsime, kaip nustatyti, ar trys erdvės taškai yra vienoje plokštumoje, naudojant vektorius. Ši tema svarbi tiek teoriniu, tiek praktiniu požiūriu, nes leidžia spręsti įvairius geometrinius uždavinius.
Visų pirma, svarbu suprasti pagrindines sąvokas, tokias kaip vektorius ir plokštuma. Vektorius yra kryptinis atstumas, o plokštuma yra begalinė dvimatė erdvė. Trys taškai yra komplanarūs, jei jie visi yra vienoje plokštumoje.
Vektoriai ir plokštumos
Vektorius yra atstumas su kryptimi. Matrica yra vektorių rinkinys. Atradę kompleksinius skaičius, galime įvesti skaičių rinkinius, suprantamus kaip atskiras reikšmes. Galime įsivaizduoti koordinates, aibes arba skaičių tinklelius - kaip atskirus skaičius.
Pavyzdžiui, galime nurodyti kaip (3, -7, 2), kad gali reikšti: paeiti į šiaurę 3 m, tada į vakarus 7 m ir pakilti į viršų 2 m. Taip pat (3, -7, 2) gali atvaizduoti traukimo jėgą: 3 - virvė traukia į šiaurę, 7 - antra virvė traukia į vakarus, 2 - trečia virve tempia aukštyn. Tai gali būti jėgos vektoriaus pavyzdys.
Vektoriaus pavyzdys
Komplanarumo sąlyga
Panagrinėkime spinduliuotę aplinkoje, apibūdinamoje bet kokiomis dielektrinėmis ir magnetinėmis skvarbomis. Elektromagnetinės bangos tokioje magneto-dielektrinėje aplinkoje apibūdinamos Maksvelo lygtimis. Iš čia išplaukia, kad elektrinės slinkties ir magnetinės indukcijos laukai yra skersiniai, jų sąryšis su elektriniu ir magnetiniu laukais išreiškiamas formulėmis. Darome prielaidą, kad aplinka yra izotropinė, taigi ir yra proporcingi vienetiniams tenzoriams.
Reikėtų paminėti, kad banginio vektoriaus Dekarto komponentės gali būti ne tik realios, bet ir menamos. Tokie sprendiniai gali egzistuoti tik dalyje erdvės (pvz., plokštumoje), nes priešingu atveju kitoje dalyje susiformuos eksponentiškai stiprėjanti banga. Tarkime, kad aplinkų sandūra yra plokštumoje, kai .
Šis monochromatinis sprendinys, kurie tolstant nuo ribos eksponentiškai mažėja ir yra apibūdinami , kai x < 0 ir , kai x > 0. Iš kitos pusės, elektromagnetinio lauko sklidimą plokštumoje išilgai y ašies apibūdina banginis vektorius . Čia indeksas nurodo pirmą aplinkos pusę, kurioje x < 0, o nurodo antrą aplinkos pusę, kur x > 0. Tokiu atveju magnetinis ir magnetinės indukcijos laukai yra statmeni xy plokštumai ir .
Iš kitos pusės, elektrinės slinkties ir elektrinis laukai yra xy plokštumoje. Kadangi aprašomos normaliosios komponentės neaprašo magnetinio lauko, lygtimis nusakomos kraštinės sąlygos yra automatiškai tenkinamos. Iš kitos pusės, sprendinys tenkina tolydimo sąlygą ir normaliosioms komponentėms elektrinės slinkties laukui aplinkų sandūroje. Tai reiškia, kad s poliarizacijos paviršinės modos gali susiformuoti tik, jeigu elektrinė slinktis bus priešingo ženklo iš abiejų sandūros pusių.
Taigi, paviršiniai plazmonai negali susiformuoti tarp dviejų normalių aplinkų, kai ir . Iš kitos pusės, paviršiniai plazmonai gali būti suformuoti tarp įprastinės aplinkos ir aplinkos, kurios arba kairinės medžiagos . Ši lygtis apibrėžia paviršinio plazmono dispersiją . Kiekvienam , pasinaudojus lygtimis, galima rasti atvirkštinius lokalizacijos ilgius ir . Paviršiniai plazmonai susiformuoja, jeigu yra teigiamas.
Be to, remiantis lygtimi galime teigti, kad elektrinė skvarba ir turi būti priešingų ženklų gretimose aplinkose. Toliau aptarsime įprastinės aplinkos, kurios , ir kairinės medžiagos aplinkos, kurios , sandūrą. Tiek įprastinėje (x < 0), tiek kairinėje (x > 0) aplinkose gali sklisti trimatės bangos. Tarkime, kad . kur yra trimatės bangos fazinis greitis pirmoje medžiagoje. Kai ir , tada .
Praktinis pavyzdys
Norint patikrinti, ar trys taškai A, B ir C yra vienoje plokštumoje, reikia atlikti šiuos veiksmus:
- Apskaičiuoti vektorius AB ir AC.
- Apskaičiuoti vektorių AB ir AC vektorinę sandaugą.
- Patikrinti, ar vektorius, jungiantis bet kurį tašką su plokštuma, yra statmenas vektorinės sandaugos rezultatui.
Jei šie veiksmai parodo, kad visi trys taškai yra vienoje plokštumoje, tuomet jie yra komplanarūs.
Išvados
Šiame straipsnyje aptarėme, kaip naudojant vektorius galima nustatyti, ar trys taškai yra vienoje plokštumoje. Šis metodas yra svarbus įrankis geometrinių uždavinių sprendimui ir gali būti pritaikytas įvairiose srityse.
Lentelė: Komplanarumo sąlygos
| Sąlyga | Aprašymas |
|---|---|
| Vektoriai AB ir AC | Apskaičiuojami vektoriai tarp taškų |
| Vektorinė sandauga | Apskaičiuojama vektorių AB ir AC vektorinė sandauga |
| Statmenumas | Patikrinama, ar vektorius, jungiantis bet kurį tašką su plokštuma, yra statmenas vektorinės sandaugos rezultatui |