Šiame straipsnyje aptarsime svarbias funkcijų savybes ir metodus, leidžiančius jas analizuoti. Nagrinėsime trūkio taškus, ekstremumus, monotoniškumą, kreivės iškilumą ir perlinkio taškus bei asimptotes.
Trūkio taškai
Trūkio tãškas, arba netolydùmo tãškas, yra taškas, kuriame funkcija f nėra tolydi. Jei bent viena ribų f(a + 0) ir f(a - 0) neegzistuoja, taškas a vadinamas antrosios rūšies trūkio tašku. Skaičius f(a + 0) - f(a - 0) yra vadinamas funkcijos f trūkiu taške a.
Jei šis trūkis lygus 0, t. y. jei f(a + 0) = f(a - 0), taškas a vadinamas pašalinamu, nes galima pakeisti funkcijos f reikšmę f(a) taške a taip, kad ji taptų tolydžia tame taške. Pavyzdžiui, funkcijos f su reikšmėmis f(x) = x2, kai x ≠ 0, ir f(0) = 1 trūkio taškas 0 pašalinamas.
Jei trūkis taške a nėra lygus nuliui, t. y. jei f(a + 0) ≠ f(a - 0), taškas a vadinamas nepašalinamu.
Ekstremumai
Ekstrèmumas - funkcijos maksimumas arba minimumas.
Taškas x0 ∈ A ⊂ R vadinamas funkcijos f : A → R lokaliojo maksimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka U(x0, ε) = (x0 - ε, x0 + ε), kai nelygybė f(x) ≤ f(x0) teisinga su visais x ∈ U(x0, ε). Priešinga nelygybė apibrėžia lokaliojo minimumo tašką. Lokaliojo maksimumo ir lokaliojo minimumo taškai vadinami ekstremumo taškais, funkcijos reikšmė tokiame taške - ekstremumu.
Funkcijos ekstremumų pavyzdys
Taškai x1, x2 ir x3 yra šios funkcijos ekstremumo taškai, o reikšmės f(x1), f(x2) ir f(x3) - jos ekstremumai.
Taškas x0, kuriame f′(x0) = 0, vadinamas funkcijos stacionariuoju tašku. Ne kiekvienas stacionarusis taškas yra ekstremumo taškas. Pavyzdžiui, funkcijai f(x) = x3 taškas x0 = 0 yra stacionarusis taškas, nes f′(0) = 0, bet taške x0 = 0 ši funkcija ekstremumo neturi. Funkcija gali turėti ektremumą ir taške, kuriame išvestinė neegzistuoja.
Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba ji neegzistuoja, vadinami tos funkcijos kritiniais taškais. Funkcijos ekstremumo taškų ieškoma iš kritinių taškų.
Ekstremumo sąlygos
Jeigu yra tokia kritinio taško x0 aplinka (x0 - ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε), kurioje tolydžioji funkcija f turi išvestinę f′(x) ir ji keičia ženklą, kai x pereina x0, tai taške x0 ta funkcija turi ektremumą: maksimumą, kai f′(x) iš teigiamos tampa neigiama, minimumą, kai f′(x) iš neigiamos tampa teigiama. Jei f′(x) nekeičia ženklo, kai x pereina x0, tai taške x0 ektremumo nėra.
Ektremumams tirti dar taikoma antroji išvestinė f′′(x). Jei f′(x0) = 0, o f′′(x0) ≠ 0, tai taške x0 - funkcija f turi ektremumą: f(x0) - maksimumas, kai f′′(x0) < 0; f(x0) - minimumas, kai f′′(x0) > 0.
Kai f′(x0) = 0 ir f′′(x0) = 0, ektremumui tirti naudojamos aukštesniosios eilės išvestinės. Jei f′(x0) = f′′(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0, o f(n)(x0) ≠ 0 (n ≥ 2), tada:
- jei n - lyginis skaičius ir f(n)(x0) < 0, tai f(x0) yra maksimumas;
- jei n - lyginis skaičius ir f(n)(x0) > 0, tai f(x0) - minimumas;
- jei n - nelyginis skaičius, taške x0 ektremumo nėra.
Daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumo taškai ir ekstremumai apibrėžiami panašiai kaip vieno kintamojo funkcijos.
Funkcijos monotoniškumas
Funkcijos monotoniškumas nusako, kaip funkcija didėja arba mažėja tam tikrame intervale. Tam tikslui naudojamos išvestinės.
Teoremos
1 teorema (Būtinas funkcijos monotoniškumo požymis). Jei funkcija f(x) intervale (a; b) didėja (mažėja), tai jos išvestinė tame intervale yra neneigiama (neteigiama), t. y. f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0).
Tarkime, kad funkcija y = f(x) didėja intervale (a; b). Tuomet, suteikus argumentui pokytį ∆x > 0, gaunamas funkcijos pokytis ∆y > 0, o kai ∆x < 0, tai ir ∆y < 0. Todėl visada ∆y/∆x > 0. Jei šioje nelygybėje pereitumėme prie ribos, kai ∆x → 0, tai gautume, kad lim ∆x→0 ∆y/∆x ≥ 0, t. y. f'(x) ≥ 0.
2 teorema (Pakankamas funkcijos monotoniškumo požymis). Jei funkcijos f(x) išvestinė f'(x) > 0 (f'(x) < 0) intervale (a, b), tai funkcija f(x) tame intervale didėja (mažėja).
Tarkime, kad x1, x2 ∈ (a; b), x1 ≠ x2. Remdamiesi Lagranžo teorema, parašome lygybę f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1), (c yra tarp x1 ir x2), be to, f'(c) > 0. Jei x1 < x2, tai x2 - x1 > 0, todėl ir f(x2) - f(x1) > 0; iš čia f(x2) > f(x1), vadinasi, f(x) didėja. Jei x2 < x1, tai x2 - x1 < 0, todėl f(x2) < f(x1).
Ekstremumo sąlygos
Jei funkcijos f(x) išvestinė f’(x) keičia ženklą, pereidami per kritinį tašką x0, tai taške x0 funkcija f(x) turi ekstremumą:
- maksimumą kai f’(x) keičia savo ženklą iš + į -;
- minimumą, kai f’(x) keičia savo ženklą iš - į +.
Jei taške x0 funkcijos f(x) pirmoji išvestinė f’(x0) = 0, o jos antroji išvestinė f’’(x0) to taško aplinkoje Vδ(x0) yra tolydi, be to f’’(x0) ≠ 0, tai tame taške funkcija turi:
- maksimumą, kai f’’(x0) < 0;
- minimumą, kai f’’(x0) > 0.
Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės atkarpoje
Iš tolydžiųjų funkcijų sąvybių žinome, kad tolydi atkarpoje [a; b] funkcija įgyja didžiausią bei mažiausia reikšmes M ir m: M = max f(x), x ∈ [a; b] m = min f(x), x ∈ [a; b]. Funkcija didžiausią ir mažiausią reikšmes gali įgyti kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.
Bendrojo funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema
Norint ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką, rekomenduojama laikytis šios schemos:
- Nustatome funkcijos f(x) apibrėžimo sritį. Jeigu yra trūkio taškų, apskaičiuojame funkcijos ribas jiems iš kairės ir dešinės, taip pat ribas apibrėžimo srities galuose.
- Ištiriame ar funkcija lyginė ar nelyginė, periodinė ar ne. Lyginei funkcijai teisinga lygybė f(-x) = f(x), jos grafikas yra simetriškas Oy ašies atžvilgiu. Nelyginei funkcijai teisinga lygybė f(-x) = -f(x), jos grafikas simetriškas koordinačių sistemos pradžios taško atžvilgiu. Periodinei funkcijai teisinga lygybė f(x+T) = f(x); čia T- periodas (T>0).
- Surandame funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus: išsprendžiame lygtį f(x) = 0 ir apskaičiuojame reikšmę f(0).
- Surandame funkcijos monotoniškumo (didėjimo, mažėjimo) intervalus bei ekstremumus.
- Nustatome funkcijos grafiko iškilumo aukštyn ir žemyn intervalus bei perlinkio taškus.
- Randame grafiko vertikaliąsias ir pasvirąsias asimptotes.
Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai
Kreivė vadinama iškila aukštyn (žemyn) intervale (a; b), jeigu visi tos kreivės taškai tame intervale yra po liestine (virš liestinės), nubrėžta per bet kurį kreivės tašką. Taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo iškilos žemyn dalies, vadinamas kreivės perlinkio vingio tašku (vingio) tašku.
1 teorema jei intervale (a; b) funkcija f(x) turi antrąją išvestinę, kuri yra neigiama (teigiama), tai kreivė tame intervale yra iškila aukštyn (žemyn).
2 teorema (būtina perlinkio taško sąlyga). Jei taškas x0 yra perlinkio taškas, tai f’’(x0) = 0 arba neegzistuoja.
Jei antroji išvestinė keičia ženklą, tai taškas x0 yra perlinkio taškas.
Funkcijos grafiko asimptotės
Tiesė vadinama kreivės asimptote, jei bet kurio kreivės taško atstumas iki tos tiesės artėja prie 0, taškui tolstant kreive. Asimptotės skirstomos į dvi grupes: vertikaliąsias ir pasvirąsias.
Funkcijos asimptočių pavyzdys
Vertikaliosios asimptotės
Jei nors viena iš šių ribų lim x→a-0 f(x), lim x→a+0 f(x), lim x→a f(x) yra begalinė, tiesė x = a yra vertikalioji asimptotė.
Pasvirpsios asimptotės
Sakykime, kad tokios asimptotės lygtis y = kx + b. Rasime koeficientus k ir b. Taškas M(x; y) yra kreivės taškas, o N(x; ya) - asimptotės taškas, - kampas, kurį asimptotė sudaro su teigiama Ox ašies kryptimi.
Pagal apibrėžimą, kai tiesė, einanti per taškus N ir P, yra asimptotė, tai limx→∞MP = 0. MP pakeisime dydžiu MN. Kadangi ≠ /2, o MN = MP/cos, tai Mn → 0, kai MP → 0. Todėl limx→∞MN = limx→∞(y - ya) = lim x→∞(f(x) - kx - b) = 0.
Pritaikę ribų dėsnius gauname b = limx→∞(f(x) - kx). Be to, lim x→∞(f(x) - kx - b) = lim x→∞x (f(x)/x - k - b/x) = 0, x ≠ 0.
Kadangi sandaugos riba lygi nuliui. x ≠ 0, tai antrojo dauginamojo riba turi būti lygi 0. Todėl lim x→∞(f(x)/x - k - b/x) = 0.
Tačiau b/x → 0, kai x → ∞, vadinasi lim x→∞(f(x)/x - k) = 0, k = lim x→∞f(x)/x.
Atskiru atveju, kai k = 0, asimptotė y = b yra tiesė lygegreti Ox ašiai.
PASTABA. Jei apskaičiuodami koeficentus k ir b, gauname, kad bent viena iš ribų yra begalinė arba neegzistuoja, tai funkcijos grafikas asimptotės y = kx + b neturi.