Šiame straipsnyje nagrinėjama matematika, jos istorija ir reikšmė, paneigiant visuomenėje įsišaknijusius mitus ir parodant jos svarbą įvairiose gyvenimo srityse. Aptariama, kaip matematika suprantama skirtingais laikotarpiais, kokie yra jos tyrimo objektai, metodai ir kaip ji susijusi su kitais mokslais. Taip pat nagrinėjama, kaip ugdyti meilę matematikai ir kokios perspektyvos atsiveria ją studijuojant.
Matematikos suvokimas visuomenėje
Dažnai visuomenėje, įskaitant ir lietuviškąją inteligentiją, vyrauja klaidingas požiūris į matematiką. Ji laikoma sunkiai prieinamu mokslu, skirtu tik išrinktiesiems, kuriame viskas jau išspręsta ir nebeliko vietos raidai. Tokį požiūrį iliustruoja tokie posakiai kaip "didesnioji pusė, mažesnioji pusė" arba "pirmų pirmiausia", atspindintys matematikos ignoravimą. Neretai neigiamas požiūris į matematiką susiformuoja mokykloje dėl silpnų mokytojų, kurie nesugeba įdiegti meilės šiam mokslui, o sutelkia dėmesį tik į formules.
Eilinis aštuntosios klasės gimnazijos mokinys, paklaustas, kas yra matematika, geriausiu atveju tesugeba atsakyti: "tai yra artimetika, algebra, geometrija ir trigonometrija" - o matematikos esmė lieka jam visai svetima ir nesuprantama.
Matematikos istorija ir esmė
Matematika yra vienas seniausių mokslų, kurio istorija siekia maždaug 5000 metų. Seniausias ligi šiol žinomas matematikos raštas yra hieroglifiškieji užrašai viename Egipte rastame papiruse, priklausančiame papirusų Rhindo kolekcijai britų muziejuje Londone. Šis susuktas į ritulį papirusas, ištęstas vienoje plokštumoje, daro stačiakampainio pavidalo 20 m ilgio ir 30 cm pločio geltonos pilkos spalvos juostą. Jį aptiko Egipte anglas Rhind 1850 m. skardinėje dėžėje ir savo pirkinį kartu su kitais Egipte įgytaisiais papirusais yra perleidęs britų muziejui.
Šis Rhindo papirusas 1876 m. vokiečio Eisenlohro buvo išverstas vokiečių kalba. Tas raštas buvo surašytas egiptiečio raštininko Ah-meso, papirusų žinovų teigimu, tarp 1200- 1700 m. prieš Kr. ir yra Ahmeso mokyklinis skaičiavimo vadovėlis. Šiame papiruse Ahmes yra surašęs "vadovėlį visiems slaptiesiems dalykams pažinti" ir nurodęs, kad, jį rašydamas, esąs pasinaudojęs žymiai senesniais šaltiniais.
Žodis "matematika" atsirado daug vėliau, kilęs iš graikų kalbos žodžio "manthano", reiškiančio "mokausi", ir reiškia mokslų mokslą, lygiai kaip Šventojo Rašto pavadinimas biblija kilęs iš senosios graikų kalbos žodžio biblios - knyga ir reiškia knygų knygą. Dar viduramžių laikais matematika buvo vadinamas mokslų ketvertas - ąuadrivium, į kurį įėjo: aritmetika, geometrija, astronomija ir muzika. XVIII a. pabaigoje ir XIX a. pirmojoje pusėje matematika buvo suprantama kaip mokslas, nustatąs dydžių savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius.
Matematikos tyrimo objektai ir metodai
Matematikos tyrimo objektus sudaro tik matuojamieji dydžiai, kurių kitimo eigą matematika įvertina tik kiekybiniu, o ne kokybiniu atžvilgiu. Matematikos metodais matuojamųjų dydžių ištirtuosius savumus nusako atitinkamieji dėsniai. Šia prasme toks nematuojamasis dydis, kaip, pvz., protas, negali patekti į matematikos tyrimo laboratoriją, nors protas neabejotinai yra dydis: pvz., vienas žmogus yra protingesnis, negu kitas, kuris yra už pirmąjį žmogų kvailesnis.
Ši matuojamųjų dydžių priklausomybė matematikos tyrimo objektams ir buvo priežastimi, kodėl Gauss apibrėžė matematiką kaip efektyvių dydžių mokslą, ir ligi XIX a. Tačiau tokia matematikos apibrėžtis turėjo būti atmesta, nes ši definicija eliminavo iš matematikos šakų tarpo tokias neabejotinai matematiškąsias disciplinas, kaip kombinatorika (junginių teorija), grupių teorija, aibių teorija, topologija, kurios dydžiais visai neoperuoja. Todėl tenka rasti bendras pažymys, nustatąs, kad tiriamoji mokslo šaka priklauso matematikai.
Begalybės sąvoka matematikoje
Prancūzų matematikas Henry Poincarė (1856-1912) įžiūri begalybės sąvokoje ir apibrėžia matematiką kaip mokslą apie begalybę. Tačiau ši sąvoka nėra būdinga kiekvienai matematikos šakai ir nedaro matematikos kertinio akmens. Neveltui senieji graikų matematikai: Talesas iš Mileto (624-548 prieš Kr.), filosofas-geometras Platonas iš Atėnų (429-348 pr. Kr.) ir Euklidas (g. 365 pr. Kr.) visai liovėsi vartoję savo darbuose net patį terminą: "begalybę". Pavyzdžiui, Euklidas, norėdamas nusakyti dėsnį, kad pirminių natūrinių skaičių yra be galo daug, rašo šiaip: "Pirminių skaičių egzistuoja daugiau, negu jų yra bet kurioje pirminių skaičių aibėje".
Matematika operuoja tiesioginėmis tikrosiomis teigiamomis ir neigiamomis begalybėmis ir netiesioginėmis begalybėmis, neturinčiomis jokio apibrėžto ženklo. Kintamajam skaičiui, t. y. tokiam, kurio reikšmė nėra vienoda - pastovi, bet kuris turi be galo daug skirtingų tikrųjų reikšmių, žymėti vartojamas simbolis +∞.
Aibių teorija
Baigtinių ir nepabaigiamųjų aibių savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius tiria ir nustato speciali matematikos disciplina, Jurgio Cantoro (1845-1918) XIX-am a. sukurta aibių teorija. Aibės objektais, vadinamais elementais, gali būti ne tik skaičiai, bet ir lygtys vienu nežinomuoju ar keliais nežinomaisiais, šių lygčių sistemos, tikrųjų ar kompleksinių nepriklausomųjų kintamųjų dydžių (argumentų) priklausomieji kintamieji dydžiai - šių argumentų matematiškosios funkcijos, vieno ar kelių argumentų tolydžios ar trūkios (netolydžios) funkcijos obuoliai ant obels, mokiniai klasėje, studentai auditorijoje, knygos bibliotekoje ir pan.
Tačiau aibių negalima laikyti dydžiais, nes nelygioms aibėms svetimas yra santykiavimas: "mažiau" arba "daugiau". J. Cantoro pasiūlymu, aibės lyginamos pagal savo tūrį, kurį nustato aibės galia, žymima simboliu-ženklu א (skaityk: alef), vadinamu kardinaliniu skaičiumi.
Dvi aibės laikomos vienodai galingomis, jei tarp šių aibių elementų galima nustatyti tobula, t. y. vienareikšmė ir apverčiama atitinkamybė, taip, kad kiekvieną tiriamos aibės elementą atitiktų vienas ir tiktai vienas kitos palyginamos su ja (vienodai galingos) aibės elementas, ir atvirkščiai, kad tuo pat metu kiekvieną antrosios aibės elementą atitiktų vienas ir tiktai vienas pirmosios aibės elementas.
Visos nepabaigiamos aibės, vienodai galingos su natūrinių skaičių aibe, vadinamos suskaitytinėmis aibėmis. Suskaitytinių aibių visi elementai galima sunumeruoti, pagal jų užimamas aibėje vietas.
Nepabaigiamos aibės, kurių elementų negalima sunumeruoti, ir kurių galia yra tuo būdu didesnė, negu visų natūrinių skaičių aibės galia, vadinamos nesuskaitytinėmis aibėmis.
Aibių teorijos sąvokos
- Poaibis ir viršaibis: Jei visi aibės A elementai priklauso aibei B, tai A yra B poaibis, o B yra A viršaibis.
- Aibių sistemos suma (junginys): Aibė, sudaryta iš visų elementų, priklausančių bent vienai sistemos aibei.
- Dekarto (kombinatorinė) sandauga: Aibių A ir B sandauga AxB yra aibė, sudaryta iš visų galimų porų (a, b), kur a ∈ A ir b ∈ B.
- Žiedas: Aibių sistema, uždara skirtumo ir junginio atžvilgiu.
- σ-žiedas: Žiedas, uždaras aibių sekų sumos atžvilgiu.
Aibių atvaizdavimas
Tarkime, kad tarp kurios nors aibės elementų įvesta atitinkamybė a -> b, be to, kiekvienam elementų dvejetui a, b arba a->b, arba a<-b (a ne ->b).
Suskaičiuojamos aibės
Iš aibių A, ir B, ekvivalentumo išplaukia, jog tarp jų egzistuoja abipus vienareikšmė atitinkamybė Ę,. Reikia parodyti, kad tarp sumų šu 2 Ar ir S,= ) B, k=l k= galima nustatyti abipus vienareikšmę atitinkamybę.
Suskaičiuojama yra visų lyginių skaičių aibė 124108.
Iš kiekvienos begalinės aibės galima išskirti suskaičiuojamą poaibį. Sakykime, turime begalinę aibę A.
Pradžioje imame elementus, kurių abiejų indeksų suma yra 2, po to tuos, kurių indeksų suma yra 3, toliau - suma 4, suma Sir t. t. Iš pasikartojančių elementų imsime tik po vieną elementą.
Ji bus suskaičiuojama. Ir t. t. Tuo būdu, sandauga A, x A, bus suskaičiuoja- mos sistemos suskaičiuojamų aibių suma A,x45= S (lai by), (a5,b;), (as, bp), k=! Remiantis 3 teorema, ji bus suskaičiuojama.
Kontinumo galios aibės
Sakykime, P, yra aibė n-jo laipsnio polinomų su sveikais koefi- cientais ax a 11... Tax as, a, 0. Aišku, kad ši aibė yra ekvivalenti aibei (S-(0)xSx ... XS, --- n dauginamųjų kur S yra visų sveikųjų skaičių aibė.
bendras galas, dešinysis pirmojo ir kairysis antrojo. Jis bus taip pat dešinysis galas segmento Ap.j jp „i, y ir kairysis - segmento Aj; aaa AE šinysis Aj, į, go „igyr IT kairysis segmento Ais ja sig pik 00 ir t. t.
jai aibei 4, priskirkime visas trupmenas, kurios baigiasi vien tik skaitmenimis y, išskyrus trupmeną O, yyy -.. Aibė A, yra suskaičiuojama, nes visų skaičių pavidalo mg- aibė yra suskaičiuojama.
jama. Kadangi aibė 4-B, yra begalinė, tai pagal 2 teoremą A-B, -(A-B,)+ +B,= 4. Iš šios teoremos ir iš 8.1 teoremos turime, kad kiekviena begalinė aibė turi jai ekvivalentų tikrinį poaibį.
nepalyginamai daugiau, negu algebrinių skaičių: visi realieji skaičiai, išskyrus suskaičiuojamą aibę, yra transcendentiniai.
Teorema įrodyta. Iš šios teoremos lengva gauti dar vieną įrodymą, kad visų realiųjų skai- čių aibė turi kontinumo galią.
Pagal apibrėžimą sandauga A,x A;x A5;x ... yra sudaryta iš sekų (a,, a;, as, ...), kur a;, a5, a5, ... nepriklausomai vienas nuo kito perbėga atitinka- mų aibių A,, A;, A5, ... elementus.
Matematika ir logika
Neidentifikuojant matematikos su aibių teorija, tenka atmesti ir matematikos sutapatybini-mas su logika, nors tendencija matematikai suta-patybinti su formalia logika aiškiai reiškėsi kai kuriose matematikose XX-ojo amžiaus pradžioje. Logika yra taisyklingo protavimo mokslas, nusta-tąs dėsningo protavimo savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius. Užtat matematikai yra būdinga skaičiaus sąvoka: kiekviena grynosios matematikos disciplina operuoja skaičiais, baigtiniais ar nebaigiamais, be galo mažais ar be galo dideliais, pakankamai mažais ar pakankamai dideliais, kiek norint mažais ar kiek norint dideliais, pastovias ar kintamais.
Būdama vieninteliu griežtuoju mokslu, matematika atmeta tiriamųjų objektų individualius savumus, abstrahuoja (atsitraukia) nuo realybės, kurią ji atsieja pro savo koštuvą, ir sudaro tiriamųjų gamtos procesų bendrąsias idealiąsias schemas, kuriomis jos gauti dėsniai yra absoliučiai griežti ir tikslūs.
Matematikos objektyvumas ir aksiomos
Matematika yra grynai objektyvus mokslas, kuriame visai neatsiliepia ir neatsispindi tyrinėtojo subjektyvus "aš". Visa matematikos mokslo konstrukcija yra grindžiama postulatais-aksiomomis, kurie sudaro matematikos statybos tvirtus logiškus pamatus. Postulatais, arba aksiomomis, modernioje matematikoje vadinami paprasčiausi neginčytini teigimai, priimti be įrodymo, kaip kitų tolesnių teigimų-tezių, kuriuos nusako šiais postulatais pagrįsti matematiškieji dėsniai.
Jau graikų filosofas Platonas (429-348 prieš Kr.) reikalavo, kad kiekvienas matematikos dėsnis-teorema būtų sudarytas, kaip logiška išdava iš anksčiau įrodytų dėsnių. Tik nedaugelis paprasčiausių teigimų, kurie negalima pagrįsti kitais, dar paprastesniais teigimais, leista Platono susistemintų mokslų filosofojoje statyti matematikos mokslo konstrukcijos pagrindan; pvz., pagrįstas tik potyriu teigimas - postulatas: "Per du taškus erdvėje egzistuoja viena ir tik viena išvesta per šiuos taškus tiesė".
Kadaise aksiomomis buvo vadinami savaime aiškūs teigimai. Tačiau itin sparti moderniosios matematikos raida sugriovė daug ligi šiol vartojamų aksiomų senąja prasme ir privertė rimtai suabejoti savaime aiškių teigimų egzistencija.
Matematika ir kompetencijos
Šiuo metu vykstantis bendrojo ugdymo programų atnaujinimas taip pat orientuotas į kompetencijų plėtotę. Dabartinis atnaujinimas remiasi pernai patvirtintomis Gairėmis (2019). Taigi dalyko turinys turėtų atsižvelgti į atitinkamos mokslo disciplinos akademinę logiką.
Matematinė kompetencija (angl. competency) yra aiškiai atpažįstama ir svarbi matematinio kompetentingumo (angl. competence) sudedamoji dalis. Pagal danų kompetencijų projektą, matematinis kompetentingumas turi aštuonias sudedamąsias dalis vadinamas matematinėmis kompetencijomis. Pagal Gaires (2019, 27-as paragrafas), bendroji kompetencija yra ,,gebėjimas atlikti tam tikrą veiklą, remiantis įgytų žinių, mokėjimų, įgūdžių, vertybinių nuostatu visuma“. Lyginant su kompetentingumu (apibrėžtis K), turime du svarbius skirtumus. Pirmas skirtumas, bendroji kompetencija orientuota atlikti tam tikrą veiklą.
Kaip pamilti matematiką
Giedrius Alkauskas teigia, kad matematika - tai ne antros ir net ne trečios svarbos reiškinys gyvenime, bet reikės paaukoti daug jaunystės valandų, net ir metų. Mokytojo dalinimasis savo matematine biblioteka - štai ir viskas. Mokinio pareiga - dėkingumas! Žymus matematikas H. Poincaré yra pasakęs, kad suprasti vieną konkrečią loginę išvadą privalo bet koks gerai išsimiegojęs žmogus. Pragyventi iš matematikos net ir eilinių gabumų žmogui yra labai nesunku, o jei neturi ambicijų būti mokslininku, galima gyventi net pasiturinčiai.
Matematika kaip meno ir kultūros pagrindas
Christopheris Alexanderis esė „Miestas nėra medis“ panaudoja pusinę gardelę vienam įdomiam miestų planavimo paradoksui apibrėžti. Jo nuomone, dauguma miestų planuotojų daro didžiulę klaidą, bandydami suskirstyti miestą į erdves, kurių kiekviena turi tik vieną panaudojimo funkciją.
Pateikdamas daugybę panašių pavyzdžių, kai konkreti miesto vieta turi daugybę panaudojimo tikslų, Alexanderis pagrindžia savo nuomonę, kad miestai turėtų būti projektuojami, atsižvelgiant į konkrečios erdvės daugiafunkciškumo potencialą ir galimas šalia esančių erdvių funkcijų sankirtas.
Esė autorius tai aiškina žmogaus prigimtiniais fiziologiniais ir psichologiniais procesais. Žmogui itin sudėtinga vieną procesą priskirti kelioms kategorijoms. Dar sudėtingiau darosi, kai visą šį kategorizacijos procesą reikia paversti vizualizacija savo galvoje.
Būtent čia svarbų vaidmenį ir ima vaidinti pusinė gardelė. Tai yra matematikos mokslo atšakos aibių teorijos terminas, kurio tikslaus matematinio apibrėžimo gal ir nėra prasmės čia pateikti. Užteks grubiai įvardinti, kad jis apibrėžia aibių grupę, kai toje grupėje dviejų susikertančių aibių bendrosios dalys taip pat priklauso tai aibių grupei.
Įsivaizduokime, kad turime miesto brėžinį, susidedantį iš dviejų erdvių (aibių): perėjos erdvės ir parduotuvės erdvės. Šioms dviem erdvėms priklauso po keletą elementų: parduotuvės erdvei priklauso pati parduotuvė, parduotuvės prieigos ir laikraščių stendas, esantis prie parduotuvės durų, o perėjos erdvei priklauso pati perėja, šviesoforas, šaligatvis ir ant to šaligatvio esantis tas pats laikraščių stendas. Kaip matome, bendras elementas šioms dviem erdvėms (aibėms) yra laikraščių stendas.
Taigi, jei žvelgtume į šio miesto brėžinį kaip matematikai ir laikytume šį miestą pusine gardele, jis susidėtų ne iš dviejų atskirų erdvių (aibių), o pagal pusinės gardelės apibrėžimą šiam miestui kaip atskira erdvė priklausytų dar ir pirmų dviejų erdvių susikirtimo dalis - laikraščių stendas.
Laikraščių stendo kaip atskiros erdvės išskyrimas leidžia pamatyti šios erdvės svarbą mieste ir kelių skirtingų auditorijų funkcionavimą toje erdvėje - juk laikraščių stendas yra aktualus ne tik parduotuvės lankytojams, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio, bet ir nuobodžiaujantiems pėstiesiems, degant raudonam šviesoforo signalui laukiantiems prie perėjos ir nejučia pradedantiems peržiūrinėti stendo laikraščius.
Tad miesto prilyginimas pusinei gardelei ne tik išryškina skirtingų auditorijų veikimą erdvių sankirtose, bet ir atveria naujas galimybes plėtoti tas daugiafunkces sankirtos vietas kaip atskiras reikšmingas erdves. Jei miestą planuojame nesiremdami aibių teorija, kaip jau minėta, mūsų fiziologinės ir psichologinės savybės stumia mus link to, kad kiekviena miesto erdvė turės vienintelę paskirtį, kas labai retai taip ir funkcionuoja realybėje.