Paprasčiausias logikos mokslo apibūdinimas yra šis: logika yra mokslas apie samprotavimo taisyklingumą. Kiekvienas vidurinę mokyklą baigęs asmuo turi daugiau ar mažiau tikslią nuovoką apie tai, kas yra taisyklingumas ir samprotavimas.
Apie taisyklingumą (tiesa, ne samprotavimo, o kalbos) šiek tiek žinome iš gimtosios kalbos gramatikos, o apie samprotavimą nuvokiame, nes pakankamai dažnai vartojame veiksmažodį “samprotauti”. Aiškiau samprotavimo taisyklingumą, suprasite, baigę logikos studijas.
Samprotavimas yra naujo teiginio gavimas iš turimų teiginių. Teiginys - tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Tačiau ne visi sakiniai yra teiginiai, o tik tie, kurie reiškia sprendimą apie daiktą ar reiškinį.
Jei daiktui iš tikrųjų būdinga tai, ką mes apie jį sprendžiame, šį sprendimą reiškiantis sakinys yra teisingas. Pvz., sakinys “Vilnius yra Lietuvos sostinė”. Jei daiktui nėra būdinga tai, ką mes apie daiktą sprendžiame, sakinys yra klaidingas. Pvz., sakinys “Paryžius yra Lietuvos sostinė”. Sakinys, kuris nereiškia sprendimo, nėra nei teisingas, nei klaidingas. Pvz., klausimą reiškiantis sakinys “Kiek dabar valandų?”.
Samprotavimų būna įvairių. Kai kuriems jų keliami skirtingi taisyklingumo reikalavimai. Samprotavimai, kuriais gaunamas teiginys būtinai teisingas, jei turimi teiginiai teisingi, vadinami dedukciniais.
Tam, kad būtų įmanoma nustatyti samprotavimų taisyklingumą, logikai tyrinėja teiginių ypatumus, jų sandarą, ryšių dėsningumus, formuluoja teorijas, grindžiančias samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia.
Logikos teorijų ir jomis pagrįstų taisyklių bei metodų patikimumą padeda užtikrinti dirbtinės kalbos, kuriomis reiškiami pagrindiniai logikos terminai, teorijos, taisyklės bei metodai. Šios dirbtinės kalbos turi savo morfologiją, sintaksę, semantiką, jų išraiškos turi tikslias reikšmes. Be to, logikos teorijose panaudojamas aksiominis dedukcinis metodas, kurio dėka svarbiausios loginių tyrimų išvados tampa teoremomis, išvedamomis iš logikos aksiomų - nenuginčijamų teisingų logikos teorijos teiginių.
Logika, kuri naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį teorinių tyrimų metodą, vadinama simboline logika.
Natūralios kalbos žodžiai yra daugiareikšmiai. Daugiareikšmiškumas šalinamas apibrėžiant vartojamų žodžių reikšmes. Tačiau teorijose ir taisyklėse, kurios formuluojamos natūralia žodine kalba, dviprasmybių išvengti neįmanoma: jose tenka pavartoti ir tokius natūralios kalbos žodžius, kurių apibrėžti neįmanoma.
Tiesa, esama tokių samprotavimo taisyklingumo aspektų, kurie simbolių kalba ir aksiominėmis dedukcinėmis teorijomis dar nėra išreikšti, o gal net iš išvis neišreiškiami. Juos tiria logikos mokslo šakos, nepriklausančios simbolinei logikai. Pavyzdžiui, praktinė logika kaupia ir sistemina žinias apie taisyklingų įrodinėjimų praktiką, apie tas problemas ir sėkmes, su kuriomis susiduria sugebėjimą taisyklingai samprotauti lavinantys žmonės, o logikos filosofija tiria fundamentalias pačių logikos teorijų problemas.
Logikos Reikšmė
Samprotavimai yra daugumos įrodinėjimų sudėtinė dalis. Samprotavimų taisyklės ir samprotavimų taisyklingumo analizės metodai padeda išsiaiškinti bei užtikrinti įrodinėjimų, naudojamų tiek atskiruose moksluose, tiek kasdieniame gyvenime, patikimumą.
Logikos mokslas ir jo rezultatai reikalingi kiekvienam asmeniui, kuriam darbe arba gyvenime prireikia įrodinėjimų arba šiaip samprotavimų. Pavyzdžiui, teisininkas savo darbe pastoviai susiduria ir su samprotavimais, ir su įrodinėjimais. Juk teismo nutartys yra tekstai, reiškiantys samprotavimą, prokuroro kalbos, grindžiančios kaltinamojo kaltumą, advokato kalbos, skirtos ginamo asmens nekaltumui yra įrodinėjimai. Policijos pareigūnų atliekamas nusikaltimų tyrimas yra versijų teisingumo arba klaidingumo įrodinėjimas. Be to, logikos teorijos panaudojamos kuriant kompiuterinę techniką, atliekančią skaičiavimo, tekstų analizės ir kt.
Teiginių Logika
Teiginių logika tiria tuos teiginių ir jų ryšių ypatumus, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Tokiame teiginių tyrime sėkmingai panaudojama dirbtinė simbolių kalba. Šiame skyriuje aptarsime simbolių kalba formuluojamą teiginių teoriją ir ja pagrįstus samprotavimo taisyklingumo analizės metodus. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurio teiginys turi tik reikšmę “teisinga” arba reikšmę “klaidinga”.
Mūsų aptariama teiginių logikos teorija yra simbolinės logikos dalis, viena pamatinių simbolinės logikos teorijų, kuri savo griežtumu nenusileidžia matematikos teorijoms. Simbolinė logika apima tik formuluojamas simbolių kalba teorijas, naudojančias aksiominį dedukcinį metodą.
Teiginių ir Jų Reikšmės Žymėjimas
Propoziciniai kintamieji: žymėti lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis “p”, “q”, “r”, “s”, “t”, “u”, “v”, “x”, “y”, “z” arba šiomis raidėmis su indeksais, pvz. “r1”, “r2”, “r3”,., “rn”,., “z1”, “z2”, “z3”,.,“zn”. Simbolis, žymintis teiginį, vadinamas propoziciniu kintamuoju. Propozicinis kintamasis nėra teiginys.
Propozicinis kintamasis žymi vietą, kurią simbolių kalbos išraiškoje gali užimti teiginys, išreikštas simboliais arba natūralios kalbos žodžiais. Propozicija yra iš lotynų kalbos kilęs tarptautinis žodis, reiškiantis teiginį. Propozicinis kintamasis skiriasi nuo teiginio tuo, kad jis neturi reikšmės. Teiginys reikšmę turi.
Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurioje teiginys turi tik dvi reikšmes: “teisinga” ir “klaidinga”. Jokių kitokių reikšmių teiginys šioje logikoje neturi. “Teisinga” žymėsime simboliu “1”, o “klaidinga” - simboliu “0”. Kai reikia pažymėti teiginio reikšmę teiginių logikos formulėje, vartojamas toks žymėjimas: teisinga - T, klaidinga - . Užrašas Tp arba p reiškia, kad konstanta priskirta propoziciniam kintamajam. Vienos iš šių reikšmių priskyrimas propoziciniam kintamajam paverčia propozicinį kintamąjį arba teisingu, arba klaidingu teiginiu.
Simboliais teiginį galime pažymėti taip: p arba p , Tp arba p. Teiginys, gaunamas propoziciniam kintamajam priskyrus teiginio reikšmę, yra elementarus nedalomas teiginių logikos elementas, dar vadinamas elementariu teiginiu. Jo sandaros teiginių logika netyrinėja.
Natūraliosios kalbos išraiškos yra žodžiai arba sakiniai. Propoziciniai kintamieji yra dirbtinės simbolių kalbos išraiškos, kurios vadinamos elementariomis teiginių logikos formulėmis.
Teiginių Logikos Operatoriai
Teiginių logikos operatorius yra simboliu reiškiamas vienai arba kelioms elementarioms teiginių logikos formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimas. Jis jungia elementarioms formulėms priskirtas teiginio reikšmes su formulės, sudarytos iš tų elementarių formulių ir operatoriaus, teiginio reikšmėmis. Todėl teiginių logikos operatorius dar vadinamas jungtimi.
Elementarioms formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimams žymėti logikai naudoja įvairius simbolius. Net lietuviškuose logikos vadovėliuose jiems žymėti naudojami nevienodi simboliai. Nors perimti iš užsienio autorių, tie simboliai nepriklauso kuriai nors vienai užsienio autorių simbolių sistemai.
Mes naudosime tik vienos, labiausiai paplitusios sistemos simboliką, pavadintą tą sistemą sudariusių dvidešimto amžiaus anglų logiko Bertrand’o Russell’o ir devyniolikto amžiaus pabaigos italų matematiko Giuseppe’s Peano pavardėmis, - Peano-Russell’o sistemos simboliką. Kiti autoriai savo knygose naudoja kitų užsienio logikų arba mišrią simboliką.
Peano-Russell’o sistemoje yra vieno monadinio operatoriaus simbolis “” ir keturių dažniausiai naudojamų diadinių operatorių simboliai: “”, “”, “”, “”. Monadinis operatorius priskiriamas vienam teiginiui arba teiginių logikos formulei. Diadinis operatorius į vieną teiginį ar formulę apjungia du teiginius arba formules.
- Operatorius “” vadinamas neigimu. Jis žymi teiginio neigimą.
- Operatorius “-” vadinamas konjunkcija. Jis pagal loginę reikšmę atitinka teiginių jungimą jungtuku “ir”, todėl jis dar vadinamas operatoriumi “ir”.
- Operatorius “” vadinamas silpnąja disjunkcija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “arba” ir gali būti vadinamas operatoriumi “arba”.
- Operatorius “” vadinamas materialiąja implikacija.
- Operatorius “” vadinamas materialiąja ekvivalencija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei ir tik jei.., tai.”.
Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė. Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.
STEAM veiklos
STEAM veiklos integruoja mokslą, technologijas, inžineriją, meną ir matematiką, skatinant vaikų kūrybiškumą, loginį mąstymą ir problemų sprendimo įgūdžius. Štai keletas pavyzdžių, kaip tai įgyvendinama praktikoje:
STEAM veikla „Bitutė seka geometrines figūras“ (2025-10-17):
„Ežiukų“ grupės vaikai programavo Bee-Bot priemonės judėjimą, nukreipdami bitutę per nurodytas geometrines figūras, taip lavindami loginį ir algoritminį mąstymą bei planavimo įgūdžius.
STEAM veikla „Sek kodų pėdsakais“ (2025-10-13):
„Pelėdžiukių“ grupės vaikai sekė spalvų ar simbolių sekas, planavo veiksmų eigą ir ieškojo teisingo kelio iki tikslo, skatinant domėjimąsi technologijomis ir programavimo principais be kompiuterio.
STEAM veikla „Nugalėk smalsumą“ (2025-10-10):
„Voveriukų“ grupė tyrinėjo rudens gėrybes su mikroskopu, ragavo, uostė ir lietė jas, o vaizdiniai buvo transliuojami į televizorių, taip skatinant smalsumą ir tyrinėjimo įgūdžius.
STEAM veikla „Išskrendantys ir žiemojantys paukščiai“ (2025-09-26):
Priešmokyklinėje grupėje vaikai tyrinėjo paukščių gyvenimą, klausėsi balsų įrašų, stebėjo migracijos kelius žemėlapyje, lygino sparnus ir plunksnas, o išvyka į „Gyvą kalną“ suteikė galimybę pamatyti gyvus paukščius iš arti.
STEAM veikla „Obuoliuklas“ (2025-09-19):
„Katinėlių“ grupės vaikai eksperimentavo su obuoliais, dėdami juos į vandenį ir stebėdami, ar jie skęsta ar plaukia, taip skatinant jutiminį tyrinėjimą ir mokantis sąvokas.
STEAM veikla „Grybai - miško turtas“ (2025-09-17):
„Ežiukų“ grupės vaikai tyrinėjo grybų pasaulį, naudodami programėles, planavo ir programavo robotuko judėjimą link grybo, taip skatinant susidomėjimą gamta ir technologijomis.
STEAM veikla „Nuo sėklos iki vaisiaus“ (2025-09-10):
„Pelėdžiukų“ grupė vykdė projektą, kurio metu vaikai patys sėjo sėklas, stebėjo augimo procesą, matavo daigų aukštį, kūrė atramas ir nuėmė derlių, taip ugdant atsakomybę, pastabumą ir komandinio darbo įgūdžius.
STEAM veikla „Pievos augalai“ (2025-06-30):
„Gandriukai“ tyrinėjo pievos augalus, naudodamiesi planšetėmis ir programėle, atpažino augalus ir sužinojo jų pavadinimus, taip skatinant domėjimąsi gamta ir technologijomis.
STEAM veikla „Eksperimentuoju ir džiaugiuosi“ (2025-06-19):
„Žilvičio“ ugdytiniai tyrinėjo ledynus, gamino muilo burbulus ir atliko eksperimentus su soda ir actu, taip skatinant smulkiąją motoriką, kantrybę ir problemų sprendimo įgūdžius.
STEAM veikla „Voras“ (2025-05-13):
„Pelėdžiukų“ grupės vaikai tyrinėjo vorus, ausdami tinklus, gamindami voriukus ir naudodami išmaniąsias technologijas, taip stiprinant kūrybiškumą, pažinimo įgūdžius ir darbo komandoje įgūdžius.
STEAM veikla „Marginu marškinėlius“ (2025-06-10):
„Gandriukai“ piešė ant marškinėlių, skatinant kūrybiškumą ir komandinio darbo įgūdžius.
STEAM veikla „Bitės diena“ (2025-05-20):
„Gandriukai“ minėjo Pasaulinę bičių dieną, ragavo medų, žaidė žaidimus ir programavo Bee-Bot bitutę, taip skatinant domėjimąsi gamta ir technologijomis.
STEAM veikla „Svajonių namas mamytei iš gamtinės medžiagos“ (2025-05-02):
„Pelėdžiukų“ grupės vaikai statė svajonių namus mamytei iš gamtinės medžiagos, skaičiavo šakeles ir mokėsi vokiškų žodžių, taip ugdant kūrybiškumą, komandinio darbo įgūdžius ir domėjimąsi kitomis kultūromis.
STEAM veikla „Mažasis sodas“ (2025-05-02):
Vaikai sėjo sėklas, stebėjo augimo procesą, fiksavo pokyčius piešiniais ir lentelėse, taip ugdant atsakomybę, pastabumą ir domėjimąsi gamta.
Šios veiklos rodo, kaip integruojant STEAM principus galima ugdyti vaikų loginį mąstymą, kūrybiškumą ir problemų sprendimo įgūdžius, ruošiant juos ateities iššūkiams.
STEAM ugdymas integruoja mokslą, technologijas, inžineriją, meną ir matematiką.
Simbolių Vartojimo Taisyklės
Bendrosios teiginių logikos simbolių vartojimo taisyklės:
- Teiginių logikos formulių sudarymo taisyklės.
- Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė.
Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.
Jei ir yra kokios nors taisyklingai sudarytos formulės, tai ( ), ( ), ( ), ( ) irgi yra taisyklingai sudarytos formulės, kuriose ir yra subformulės.
Skliaustai yra teiginių logikos techninis simbolis. Jie yra būtinas taisyklingai sudarytos formulės elementas, kai formulės sudarymui taikoma trečia taisyklė. Galima nenaudoti tik tų skliaustų, kuriais apskliaustina visa formulė. Sudėtingesnėje formulėje skliaustai žymi subformules su diadiniais operatoriais.
Formulės subformulės yra visos formulės dalys, kurios atitinka taisyklingų formulių taisykles: pvz., formulės (p r) subformulės yra p, r, r, p r. Pirmąją ir antrąją taisyklingų formulių taisyklę tenkinančios subformulės skliaustais nežymimos.
Susipažinę su operatorių reikšme, pateikiama kitame knygos poskyryje, pamatysime, kad formulės (pp)p r) ir formulės (p(p p)) r reikšmė skirtinga.
Formulės, kuri sudaryta pagal trečią formulių sudarymo taisyklę panaudojant operatorius “”, “”, narių skaičius dviem nariais nėra ribojamas. Formulių sudarymo taisyklės įgalina grynai mechaniškai sudaryti taisyklingas formules.
p r, pp, (p r), r p, (pp)p r).
Šiame poskyryje pateikėme visus dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius, išskyrus pasekmės santykio simbolį. Sekmens santykio simboliu dirbtinę teiginių logikos kalbą papildysime poskyryje “Loginiai formulių santykiai”, kuriame aptarsime, ką reiškia išvedimas teiginių logikoje.
Ankstesniame knygos poskyryje pateikėme dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius ir taisyklingų teiginių logikos formulių sudarymo taisykles. Propozicinio kintamojo simbolis yra teiginių logikos kalbos elementas, kurį turi visos formulės. Šis simbolis nieko konkretaus nereiškia. Būtent dėl to ir kitų simbolių reikšmė nėra aiški.
Interpretacija yra teksto reikšmės išaiškinimas. Dirbtinės teiginių logikos kalbos tekstas yra bet kuri jos simbolių eilė. Ši eilė vadinama teiginių logikos formule. Jei dirbtinės kalbos simbolių interpretacija yra tokia, kad atitinka svarbiausius kitos kalbos tekstų reikšmės ypatumus, dirbtinės kalbos išraiškos pagal reikšmę atitinka tos kalbos tekstus.
Knygos poskyryje “Pagrindinai teiginių logikos terminai ir simboliai” minėjome, kad propozicinis kintamasis neturi konkrečios reikšmės. Kintamajam reikšmė priskiriama. Reikšmės kintamajam priskyrimas yra propozicinio kintamojo interpretacija.
Toliau remsimės būtent šiomis propozicinio kintamojo interpretacijomis. Mūsų dirbtinė kalba atitiks natūraliąsias kalbas ir kitas dirbtines kalbas (pvz.
Teiginių logikos sistemos, kuriose propozicinių kintamųjų simboliai neturi interpretacijos, vadinamos neinterpretuotomis sistemomis. Tokios sistemos naudojamos teiginių logikos operatorių ir formulių bendriausių ypatumų tyrimui. Teiginių logikos operatorių ir formulių dėsningumai, nustatyti neinterpretuotose sistemose, tinka ir interpretuotoms teiginių logikos sistemoms. Teiginių logikos neinterpretuotų sistemų sudarymas ir formulių dėsningumų jose tyrimas yra grynai teorinė teiginių logikos dalis.
“Teisinga” ir “klaidinga” dar vadinamos G.Boole’o konstantomis. Jas galima suprasti taip: “teisinga” ir “klaidinga” yra nekintanti kokybė, kai ji nėra susieta su teiginiu. Sąsajoje su teiginiu kinta ne ši kokybė, bet teiginio reikšmė.
Teiginių logikos formulė gali turėti konstantos reikšmę dėl joje esančių operatorių kombinacijos.
Kintamųjų eilės interpretacija yra bet kuri kintamųjų interpretacijų ,,,.n eilė, kurios yra p1 interpretacija, o - p2, - p3, n - pn interpretacija. Kai eilėje yra vienas kintamasis p1 (n = 1), kintamųjų eilė turi dvi skirtingas interpretacijas: p1 reiškia arba 1, arba 0.
Propozicinių kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų skaičius nustatomas pagal vieną iš paprasčiausių matematikos šakos, vadinamos kombinatorika, lygčių, skirtą gretinių su pasikartojimais skaičiui nustatyti. Ši lygtis tokia: I = nm , kurioje I yra propozicinių kintamųjų eilės interpretacijų skaičius, n yra vieno propozicinio kint.
Simbolinė logika naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį metodą.
Logika ir matematika yra neatsiejami mokslai, padedantys ugdyti loginį mąstymą ir kūrybiškumą. STEAM veiklos yra puikus būdas integruoti šiuos mokslus į vaikų ugdymą, skatinant juos tyrinėti, eksperimentuoti ir atrasti naujus dalykus.